La Proposició 8 del Llibre xiii d'Elements d'Euclides demostra amb triangles similars el mateix resultat: és a dir, que la longitud a (el costat del pentàgon) divideix la longitud b (unint vèrtexs alternatius del pentàgon) en «proporció mitjana i extrema».
I de manera anàloga, la Proposició 9 del Llibre xiii d'Elements d'Euclides demostra amb triangles semblants que la longitud c (el costat del decàgon) divideix el radi en «proporció mitjana i extrema».
cut-the-knot.org
A la referència següent es pot trobar un article interessant sobre la construcció d'un pentàgon regular i la determinació de la longitud dels costats: [1]
Per entendre el Tercer Teorema, compareu el diagrama de Copèrnic que es mostra a la pàgina 39 del De Revolutionibus Orbium Coelestium amb la derivació de sin(A-B) que es troba a la pàgina web Cut the knot.
A De Revolutionibus Orbium Coelestium (DROC), Copèrnic no es refereix al teorema de Pitàgores pel seu nom, sinó que utilitza el terme «porisme», una paraula que en aquest context particular semblaria denotar una observació o una conseqüència òbvia d'un altre teorema existent. El «porisme» es pot veure a les pàgines 36 i 37 del DROC (Harvard electronic copy).
Per entendre el Tercer Teorema, compareu el diagrama de Copèrnic que es mostra a la pàgina 39 del De Revolutionibus Orbium Coelestium amb la derivació de sin(A-B) que es troba a la pàgina web Cut the knot.
