Fundamentalsatz der Algebra (German Wikipedia)

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Der von seinem Autor als „Vollständigkeitssatz“ bezeichnete Satz und sein Beweis befinden sich in der Originalarbeit von Alexander M. Ostrowski: Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y) = φ(xy). In: Acta Mathematica 41 (1918). April 1916, S. 271–284, abgerufen am 6. Januar 2023. Satz und Beweis präsentierte auch Helmut Hasse in seiner Zahlentheorie, Akademie-Verlag, Berlin, 1949. Kapitel II, § 13 Die Typen archimedisch bewerteter vollständiger Körper, Seite 183. Eine topologisch-uniforme Beweisvariante des Vollständigkeitssatzes von Ostrowski veröffentlichten bereits 1931 Reinhold Baer (Halle) und Helmut Hasse (Marburg): Zusammenhang und Dimension topologischer Körperräume. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle-Journal), Band 167 (1931). 5. Mai 1931, S. 40–45, abgerufen am 4. Januar 2023. , siehe dort den „Zusatz 1: Es gibt keinen bewerteten Körper $K$ , der als Wertbereich den Körper $R$ aller reellen Zahlen besitzt, und der den Körper $C$ aller komplexen Zahlen in der üblichen Bewertung zum echten Unterkörper hat.“.

bnf.fr

gallica.bnf.fr

Siehe Kapitel XI (Relle Körper), § 81 (Der Körper der komplexen Zahlen). In diesem Paragraphen führt der Autor in die Theorie der reellen Körper nach Artin-Schreier ein und bringt den im Abschnitt „Beweisvariante durch Zwischenwertsatz und Galois-Theorie“ gezeigten algebraischen Beweis des Fundamentalsatzes. Zuvor allerdings zeigt er den bekannten funktionentheoretischen Beweis mit Hilfe des Satzes von Liouville als den wohl „einfachsten Beweis“ und lässt in einer kleingedruckten Textpassage den hier gebrachten Beweis folgen, eingeleitet mit den Worten: „Will man nur die ersten Elemente der Funktionentheorie voraussetzen, so kann man statt der Funktion $\phi (x)$ […]“. Der Beweis greift den Beweisansatz zur Cauchyschen Integralformel auf, ergänzt um eine betragsmäßige Abschätzung für Polynomfunktionen. In späteren Auflagen (nach der 6. Auflage, spätestens mit der 8. Auflage) wurde diese kleingedruckte Passage jedoch zugunsten neuer Inhalte eliminiert. Eine Fußnote mit einem Verweis auf weitere Beweise blieb jedoch erhalten: „Einen anderen einfachen Beweis findet man z. B. bei C. Jordan: ‚Cours d'Analyse I‘, 3me éd., S. 202. Einen intuitionistischen Beweis gab Hermann Weyl: Math. Z. Bd. 20 (1914), S. 142.“ Der Jahrgang ist auf 1924 zu korrigieren: Gemeint ist offenbar Hermann Weyls Beitrag „Randbemerkungen zu Hauptproblemen der Mathematik“ aus der Mathematischen Zeitschrift, Bd. 20, (1924), Seite 142, siehe PDF bei gdz.sub.uni-goettingen.de, abgerufen am 29. Mai 2021. Marie Ennemond Camille Jordans Cours d'Analyse I ist hier zu finden: PDF bei gallica.bnf.fr, abgerufen am 29. Mai 2021. Siehe auch Katalogeinträge [1 catalogue.bnf.fr] oder [2 catalogue.bnf.fr] u. a. Ausgaben dortselbst. – Am Ende des XI. Kapitels notiert van der Waerden weitere Literaturhinweise, siehe Literatur.

catalogue.bnf.fr

Siehe Kapitel XI (Relle Körper), § 81 (Der Körper der komplexen Zahlen). In diesem Paragraphen führt der Autor in die Theorie der reellen Körper nach Artin-Schreier ein und bringt den im Abschnitt „Beweisvariante durch Zwischenwertsatz und Galois-Theorie“ gezeigten algebraischen Beweis des Fundamentalsatzes. Zuvor allerdings zeigt er den bekannten funktionentheoretischen Beweis mit Hilfe des Satzes von Liouville als den wohl „einfachsten Beweis“ und lässt in einer kleingedruckten Textpassage den hier gebrachten Beweis folgen, eingeleitet mit den Worten: „Will man nur die ersten Elemente der Funktionentheorie voraussetzen, so kann man statt der Funktion $\phi (x)$ […]“. Der Beweis greift den Beweisansatz zur Cauchyschen Integralformel auf, ergänzt um eine betragsmäßige Abschätzung für Polynomfunktionen. In späteren Auflagen (nach der 6. Auflage, spätestens mit der 8. Auflage) wurde diese kleingedruckte Passage jedoch zugunsten neuer Inhalte eliminiert. Eine Fußnote mit einem Verweis auf weitere Beweise blieb jedoch erhalten: „Einen anderen einfachen Beweis findet man z. B. bei C. Jordan: ‚Cours d'Analyse I‘, 3me éd., S. 202. Einen intuitionistischen Beweis gab Hermann Weyl: Math. Z. Bd. 20 (1914), S. 142.“ Der Jahrgang ist auf 1924 zu korrigieren: Gemeint ist offenbar Hermann Weyls Beitrag „Randbemerkungen zu Hauptproblemen der Mathematik“ aus der Mathematischen Zeitschrift, Bd. 20, (1924), Seite 142, siehe PDF bei gdz.sub.uni-goettingen.de, abgerufen am 29. Mai 2021. Marie Ennemond Camille Jordans Cours d'Analyse I ist hier zu finden: PDF bei gallica.bnf.fr, abgerufen am 29. Mai 2021. Siehe auch Katalogeinträge [1 catalogue.bnf.fr] oder [2 catalogue.bnf.fr] u. a. Ausgaben dortselbst. – Am Ende des XI. Kapitels notiert van der Waerden weitere Literaturhinweise, siehe Literatur.

uni-goettingen.de

gdz.sub.uni-goettingen.de

So schreibt Heinrich Weber 1895 im Vorwort seines – zunächst auf nur zwei Bände angelegten – Lehrbuchs der Algebra PDF bei resolver.sub.uni-goettingen.de: „Der grosse Stoff ist in zwei Bände vertheilt. Der erste Band enthält den elementaren Theil der Algebra, den man mit einem hergebrachten Ausdruck als Buchstabenrechnung bezeichnen kann, sodann Vorschriften über die numerische Berechnung der Gleichungswurzeln und die Anfänge der Galois'schen Theorie.“ So betrachtet Weber denn auch zu Beginn seines Lehrwerks, die Grundlagen (Erstes Buch) legend, im Ersten Abschnitt die Rationalen Functionen bringt in § 38 (des Dritten Abschnittes. Die Wurzeln) einen rein analytischen Beweis des Fundamentalsatzes, der dem hier gegebenen im Wesentlichen gleichkommt; der Achte Abschnitt (Der Sturm'sche Lehrsatz) des Zweiten Buches (Die Wurzeln) dieses ersten Bandes, gipfelt in § 98. Gauss' erster Beweis des Fundamentalsatzes des Algebra mit Hilfe des Sturmschen Satzes. Dennoch ist bei Weber der Wandel des Verständnisses der Algebra deutlich spürbar, da er dem eben gebrachten Zitat aus dem Vorwort (S. v) folgende Sätze vorausschickt: „Zwei Dinge sind es, die für die neueste Entwickelung der Algebra ganz besonders von Bedeutung sind, das ist auf der einen Seite die immer mehr zur Herrschaft gelangende Gruppentheorie, deren ordnender und klärender Einfluss überall zu spüren ist, und sodann das Eingreifen der Zahlentheorie. Wenn auch die Algebra zum Theil über die Zahlentheorie hinausgeht, und in andere Gebiete, z. B. die Functionentheorie oder in ihren Anwendungen auch in die Geometrie hinüber greift, so ist doch die Zahlenlehre immer das vorzüglichste Beispiel für alle algebraischen Betrachtungen, und die Fragen der Zahlentheorie, die heute im Vordergrund des Interesses stehen, sind vorwiegend algebraischer Natur. Hierdurch war der Weg bezeichnet, den ich in meiner Arbeit zu gehen hatte.“ Bartel Leendert van der Waerden hingegen lässt sein einflussreiches Lehrbuch der „[Modernen] Algebra“ (Algebra I, 8. Auflage, 1971, siehe Literatur und Artikel zur Modernen Algebra) bereits – nach einem kurzen Kapitel über „Zahlen und Mengen“ – mit Betrachtungen zur Gruppentheorie beginnen. In § 80 (S. 252) lässt er deutlich anklingen, dass er den Namen „Fundamentalsatz der Lehre von den komplexen Zahlen“ treffender fände: „Der ‚Fundamentalsatz der Algebra‘, besser Fundamentalsatz der Lehre von den komplexen Zahlen, besagt […]“ Die erste Auflage dieses Buches erschien bereits 1930 – 22 Jahre nach Heinrich Webers drittem Band zur Algebra –, damals noch unter dem Titel Moderne Algebra. Nach eigenem Bekunden im Vorwort zur vierten Auflage entsprach van der Waerden dem Ratschlag einer Buchbesprechung Heinrich Brandts im Jahresbericht der DMV (1952, Band 55, siehe PDF bei gdz.sub.uni-goettingen.de oder PDF bei resolver.sub.uni-goettingen.de, PDF-Seite 178) und nannte sein zweibändiges Lehrwerk ab der vierten Auflage des ersten Bandes (1955) schlicht Algebra. Zur Vertiefung dieser geschichtlichen Aspekte sei auf die Artikel Moderne Algebra und Algebra verwiesen.
Vergleiche John Cassels/Albrecht Fröhlich: Algebraic Number Theory, Chapter II Global Fields, section 1 Valuations, Fußnote auf Seite 43. Siehe auch die (auf die Arbeit von A. Ostrowski aus dem Jahre 1918 Bezug nehmende) Originalarbeit von Emil Artin: Über die Bewertungen algebraischer Zahlkörper. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 167 (1931). 25. August 1931, S. 157–159, abgerufen am 4. Januar 2023. Siehe auch Chapter 1 Valuations of a Field, Theorem 3 in Emil Artin: Algebraic Numbers and Algebraic Functions. Gordon and Breach, New York 1968, ISBN 978-0-8218-4075-7, S. 4 f.
Der von seinem Autor als „Vollständigkeitssatz“ bezeichnete Satz und sein Beweis befinden sich in der Originalarbeit von Alexander M. Ostrowski: Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y) = φ(xy). In: Acta Mathematica 41 (1918). April 1916, S. 271–284, abgerufen am 6. Januar 2023. Satz und Beweis präsentierte auch Helmut Hasse in seiner Zahlentheorie, Akademie-Verlag, Berlin, 1949. Kapitel II, § 13 Die Typen archimedisch bewerteter vollständiger Körper, Seite 183. Eine topologisch-uniforme Beweisvariante des Vollständigkeitssatzes von Ostrowski veröffentlichten bereits 1931 Reinhold Baer (Halle) und Helmut Hasse (Marburg): Zusammenhang und Dimension topologischer Körperräume. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle-Journal), Band 167 (1931). 5. Mai 1931, S. 40–45, abgerufen am 4. Januar 2023. , siehe dort den „Zusatz 1: Es gibt keinen bewerteten Körper $K$ , der als Wertbereich den Körper $R$ aller reellen Zahlen besitzt, und der den Körper $C$ aller komplexen Zahlen in der üblichen Bewertung zum echten Unterkörper hat.“.
Siehe Kapitel XI (Relle Körper), § 81 (Der Körper der komplexen Zahlen). In diesem Paragraphen führt der Autor in die Theorie der reellen Körper nach Artin-Schreier ein und bringt den im Abschnitt „Beweisvariante durch Zwischenwertsatz und Galois-Theorie“ gezeigten algebraischen Beweis des Fundamentalsatzes. Zuvor allerdings zeigt er den bekannten funktionentheoretischen Beweis mit Hilfe des Satzes von Liouville als den wohl „einfachsten Beweis“ und lässt in einer kleingedruckten Textpassage den hier gebrachten Beweis folgen, eingeleitet mit den Worten: „Will man nur die ersten Elemente der Funktionentheorie voraussetzen, so kann man statt der Funktion $\phi (x)$ […]“. Der Beweis greift den Beweisansatz zur Cauchyschen Integralformel auf, ergänzt um eine betragsmäßige Abschätzung für Polynomfunktionen. In späteren Auflagen (nach der 6. Auflage, spätestens mit der 8. Auflage) wurde diese kleingedruckte Passage jedoch zugunsten neuer Inhalte eliminiert. Eine Fußnote mit einem Verweis auf weitere Beweise blieb jedoch erhalten: „Einen anderen einfachen Beweis findet man z. B. bei C. Jordan: ‚Cours d'Analyse I‘, 3me éd., S. 202. Einen intuitionistischen Beweis gab Hermann Weyl: Math. Z. Bd. 20 (1914), S. 142.“ Der Jahrgang ist auf 1924 zu korrigieren: Gemeint ist offenbar Hermann Weyls Beitrag „Randbemerkungen zu Hauptproblemen der Mathematik“ aus der Mathematischen Zeitschrift, Bd. 20, (1924), Seite 142, siehe PDF bei gdz.sub.uni-goettingen.de, abgerufen am 29. Mai 2021. Marie Ennemond Camille Jordans Cours d'Analyse I ist hier zu finden: PDF bei gallica.bnf.fr, abgerufen am 29. Mai 2021. Siehe auch Katalogeinträge [1 catalogue.bnf.fr] oder [2 catalogue.bnf.fr] u. a. Ausgaben dortselbst. – Am Ende des XI. Kapitels notiert van der Waerden weitere Literaturhinweise, siehe Literatur.

resolver.sub.uni-goettingen.de

So schreibt Heinrich Weber 1895 im Vorwort seines – zunächst auf nur zwei Bände angelegten – Lehrbuchs der Algebra PDF bei resolver.sub.uni-goettingen.de: „Der grosse Stoff ist in zwei Bände vertheilt. Der erste Band enthält den elementaren Theil der Algebra, den man mit einem hergebrachten Ausdruck als Buchstabenrechnung bezeichnen kann, sodann Vorschriften über die numerische Berechnung der Gleichungswurzeln und die Anfänge der Galois'schen Theorie.“ So betrachtet Weber denn auch zu Beginn seines Lehrwerks, die Grundlagen (Erstes Buch) legend, im Ersten Abschnitt die Rationalen Functionen bringt in § 38 (des Dritten Abschnittes. Die Wurzeln) einen rein analytischen Beweis des Fundamentalsatzes, der dem hier gegebenen im Wesentlichen gleichkommt; der Achte Abschnitt (Der Sturm'sche Lehrsatz) des Zweiten Buches (Die Wurzeln) dieses ersten Bandes, gipfelt in § 98. Gauss' erster Beweis des Fundamentalsatzes des Algebra mit Hilfe des Sturmschen Satzes. Dennoch ist bei Weber der Wandel des Verständnisses der Algebra deutlich spürbar, da er dem eben gebrachten Zitat aus dem Vorwort (S. v) folgende Sätze vorausschickt: „Zwei Dinge sind es, die für die neueste Entwickelung der Algebra ganz besonders von Bedeutung sind, das ist auf der einen Seite die immer mehr zur Herrschaft gelangende Gruppentheorie, deren ordnender und klärender Einfluss überall zu spüren ist, und sodann das Eingreifen der Zahlentheorie. Wenn auch die Algebra zum Theil über die Zahlentheorie hinausgeht, und in andere Gebiete, z. B. die Functionentheorie oder in ihren Anwendungen auch in die Geometrie hinüber greift, so ist doch die Zahlenlehre immer das vorzüglichste Beispiel für alle algebraischen Betrachtungen, und die Fragen der Zahlentheorie, die heute im Vordergrund des Interesses stehen, sind vorwiegend algebraischer Natur. Hierdurch war der Weg bezeichnet, den ich in meiner Arbeit zu gehen hatte.“ Bartel Leendert van der Waerden hingegen lässt sein einflussreiches Lehrbuch der „[Modernen] Algebra“ (Algebra I, 8. Auflage, 1971, siehe Literatur und Artikel zur Modernen Algebra) bereits – nach einem kurzen Kapitel über „Zahlen und Mengen“ – mit Betrachtungen zur Gruppentheorie beginnen. In § 80 (S. 252) lässt er deutlich anklingen, dass er den Namen „Fundamentalsatz der Lehre von den komplexen Zahlen“ treffender fände: „Der ‚Fundamentalsatz der Algebra‘, besser Fundamentalsatz der Lehre von den komplexen Zahlen, besagt […]“ Die erste Auflage dieses Buches erschien bereits 1930 – 22 Jahre nach Heinrich Webers drittem Band zur Algebra –, damals noch unter dem Titel Moderne Algebra. Nach eigenem Bekunden im Vorwort zur vierten Auflage entsprach van der Waerden dem Ratschlag einer Buchbesprechung Heinrich Brandts im Jahresbericht der DMV (1952, Band 55, siehe PDF bei gdz.sub.uni-goettingen.de oder PDF bei resolver.sub.uni-goettingen.de, PDF-Seite 178) und nannte sein zweibändiges Lehrwerk ab der vierten Auflage des ersten Bandes (1955) schlicht Algebra. Zur Vertiefung dieser geschichtlichen Aspekte sei auf die Artikel Moderne Algebra und Algebra verwiesen.