Geordnetes Paar (German Wikipedia)

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boisestate.edu

math.boisestate.edu

M. Randall Holmes: On Ordered Pairs. auf: Boise State, 29. März 2009, S. 10. Der Autor benutzt die Bezeichnungen $\sigma _{1}$ für $\varphi$ und $\sigma _{2}$ für $\psi$ .
M. Randall Holmes: Elementary Set Theory with a Universal Set. Academia-Bruylant, 1998. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this monograph via the web.

encyclopediaofmath.org

tuple. In: Encyclopaedia of Mathematics

gu.se

phil.gu.se

Eine allgemeingültige Paardarstellung kann ausgehend vom Schmidtschen Verfahren wie folgt gebildet werden: Die für Mengen gültige Definition
$a^{+}:=a\cup \{a\}$
(Peter Aczel, Michael Rathjen: Notes on Constructive Set Theory, PDF Book draft vom 19. August 2010, S. 32, Definition 4.2.1 Teil 4; älter Notes on Constructive Set Theory, in: Report No. 40, 2000/2001, Institut Mittag-Leffler der Royal Swedish Academy of Sciences, ISSN 1103-467X, S. 3-1, Definition Teil 4; ebenso M. Randall Holmes: Elementary Set Theory with a Universal Set, Cahiers du Centre de logique, Vol. 10, S. 79. Andere Notationen sind $a'$ , $S(a)$ , siehe auch Unendlichkeitsaxiom, induktive Menge)
wird auf natürliche Weise fortgesetzt für echte Urelemente (ungleich der Leermenge)
$a^{+}:=\{a\}$
und für eigentliche Klassen
$a^{+}:=a$ .
Eine für alle diese drei Fälle gültige Paardarstellung ist dann
$(a,b)_{\text{all}}:=(a^{+},b^{+})_{\text{Schmidt}}$ .
Im Fall echter Urelemente wird die der Schmidtschen zugrunde liegende ursprüngliche Paardarstellung (etwa nach Kuratowski) reproduziert:
$(a,b)_{\text{all}}=(\{a\},\{b\})_{\text{Schmidt}}=\bigcup _{x\in \{a\}}\bigcup _{x\in \{b\}}(x,y)=(a,b)$ ;
im Fall eigentlicher Klassen per Definition die Schmidtsche selbst:
$(a,b)_{\text{all}}=(a,b)_{\text{Schmidt}}$ ;
für Mengen $a,b$ wird vorausgesetzt, dass $a^{+}=b^{+}\Leftrightarrow a=b$ gilt, was für viele Mengentheorien (ZFU, ZFCU, Quine-Atome, Peter Aczels Hyperset Theory, …) erfüllt ist.

leeds.ac.uk

www1.maths.leeds.ac.uk

Eine allgemeingültige Paardarstellung kann ausgehend vom Schmidtschen Verfahren wie folgt gebildet werden: Die für Mengen gültige Definition
$a^{+}:=a\cup \{a\}$
(Peter Aczel, Michael Rathjen: Notes on Constructive Set Theory, PDF Book draft vom 19. August 2010, S. 32, Definition 4.2.1 Teil 4; älter Notes on Constructive Set Theory, in: Report No. 40, 2000/2001, Institut Mittag-Leffler der Royal Swedish Academy of Sciences, ISSN 1103-467X, S. 3-1, Definition Teil 4; ebenso M. Randall Holmes: Elementary Set Theory with a Universal Set, Cahiers du Centre de logique, Vol. 10, S. 79. Andere Notationen sind $a'$ , $S(a)$ , siehe auch Unendlichkeitsaxiom, induktive Menge)
wird auf natürliche Weise fortgesetzt für echte Urelemente (ungleich der Leermenge)
$a^{+}:=\{a\}$
und für eigentliche Klassen
$a^{+}:=a$ .
Eine für alle diese drei Fälle gültige Paardarstellung ist dann
$(a,b)_{\text{all}}:=(a^{+},b^{+})_{\text{Schmidt}}$ .
Im Fall echter Urelemente wird die der Schmidtschen zugrunde liegende ursprüngliche Paardarstellung (etwa nach Kuratowski) reproduziert:
$(a,b)_{\text{all}}=(\{a\},\{b\})_{\text{Schmidt}}=\bigcup _{x\in \{a\}}\bigcup _{x\in \{b\}}(x,y)=(a,b)$ ;
im Fall eigentlicher Klassen per Definition die Schmidtsche selbst:
$(a,b)_{\text{all}}=(a,b)_{\text{Schmidt}}$ ;
für Mengen $a,b$ wird vorausgesetzt, dass $a^{+}=b^{+}\Leftrightarrow a=b$ gilt, was für viele Mengentheorien (ZFU, ZFCU, Quine-Atome, Peter Aczels Hyperset Theory, …) erfüllt ist.

unipd.it

events.math.unipd.it

Eine allgemeingültige Paardarstellung kann ausgehend vom Schmidtschen Verfahren wie folgt gebildet werden: Die für Mengen gültige Definition
$a^{+}:=a\cup \{a\}$
(Peter Aczel, Michael Rathjen: Notes on Constructive Set Theory, PDF Book draft vom 19. August 2010, S. 32, Definition 4.2.1 Teil 4; älter Notes on Constructive Set Theory, in: Report No. 40, 2000/2001, Institut Mittag-Leffler der Royal Swedish Academy of Sciences, ISSN 1103-467X, S. 3-1, Definition Teil 4; ebenso M. Randall Holmes: Elementary Set Theory with a Universal Set, Cahiers du Centre de logique, Vol. 10, S. 79. Andere Notationen sind $a'$ , $S(a)$ , siehe auch Unendlichkeitsaxiom, induktive Menge)
wird auf natürliche Weise fortgesetzt für echte Urelemente (ungleich der Leermenge)
$a^{+}:=\{a\}$
und für eigentliche Klassen
$a^{+}:=a$ .
Eine für alle diese drei Fälle gültige Paardarstellung ist dann
$(a,b)_{\text{all}}:=(a^{+},b^{+})_{\text{Schmidt}}$ .
Im Fall echter Urelemente wird die der Schmidtschen zugrunde liegende ursprüngliche Paardarstellung (etwa nach Kuratowski) reproduziert:
$(a,b)_{\text{all}}=(\{a\},\{b\})_{\text{Schmidt}}=\bigcup _{x\in \{a\}}\bigcup _{x\in \{b\}}(x,y)=(a,b)$ ;
im Fall eigentlicher Klassen per Definition die Schmidtsche selbst:
$(a,b)_{\text{all}}=(a,b)_{\text{Schmidt}}$ ;
für Mengen $a,b$ wird vorausgesetzt, dass $a^{+}=b^{+}\Leftrightarrow a=b$ gilt, was für viele Mengentheorien (ZFU, ZFCU, Quine-Atome, Peter Aczels Hyperset Theory, …) erfüllt ist.

web.archive.org

Akihiro Kanamori: The Empty Set, The Singleton, And The Ordered Pair. (Memento vom 1. Februar 2018 im Internet Archive) In: The Bulletin of Symbolic Logic. Vol. 9, No. 3, September 2003, S. 290.

wikipedia.org

en.wikipedia.org

Eine allgemeingültige Paardarstellung kann ausgehend vom Schmidtschen Verfahren wie folgt gebildet werden: Die für Mengen gültige Definition
$a^{+}:=a\cup \{a\}$
(Peter Aczel, Michael Rathjen: Notes on Constructive Set Theory, PDF Book draft vom 19. August 2010, S. 32, Definition 4.2.1 Teil 4; älter Notes on Constructive Set Theory, in: Report No. 40, 2000/2001, Institut Mittag-Leffler der Royal Swedish Academy of Sciences, ISSN 1103-467X, S. 3-1, Definition Teil 4; ebenso M. Randall Holmes: Elementary Set Theory with a Universal Set, Cahiers du Centre de logique, Vol. 10, S. 79. Andere Notationen sind $a'$ , $S(a)$ , siehe auch Unendlichkeitsaxiom, induktive Menge)
wird auf natürliche Weise fortgesetzt für echte Urelemente (ungleich der Leermenge)
$a^{+}:=\{a\}$
und für eigentliche Klassen
$a^{+}:=a$ .
Eine für alle diese drei Fälle gültige Paardarstellung ist dann
$(a,b)_{\text{all}}:=(a^{+},b^{+})_{\text{Schmidt}}$ .
Im Fall echter Urelemente wird die der Schmidtschen zugrunde liegende ursprüngliche Paardarstellung (etwa nach Kuratowski) reproduziert:
$(a,b)_{\text{all}}=(\{a\},\{b\})_{\text{Schmidt}}=\bigcup _{x\in \{a\}}\bigcup _{x\in \{b\}}(x,y)=(a,b)$ ;
im Fall eigentlicher Klassen per Definition die Schmidtsche selbst:
$(a,b)_{\text{all}}=(a,b)_{\text{Schmidt}}$ ;
für Mengen $a,b$ wird vorausgesetzt, dass $a^{+}=b^{+}\Leftrightarrow a=b$ gilt, was für viele Mengentheorien (ZFU, ZFCU, Quine-Atome, Peter Aczels Hyperset Theory, …) erfüllt ist.

zdb-katalog.de

Eine allgemeingültige Paardarstellung kann ausgehend vom Schmidtschen Verfahren wie folgt gebildet werden: Die für Mengen gültige Definition
$a^{+}:=a\cup \{a\}$
(Peter Aczel, Michael Rathjen: Notes on Constructive Set Theory, PDF Book draft vom 19. August 2010, S. 32, Definition 4.2.1 Teil 4; älter Notes on Constructive Set Theory, in: Report No. 40, 2000/2001, Institut Mittag-Leffler der Royal Swedish Academy of Sciences, ISSN 1103-467X, S. 3-1, Definition Teil 4; ebenso M. Randall Holmes: Elementary Set Theory with a Universal Set, Cahiers du Centre de logique, Vol. 10, S. 79. Andere Notationen sind $a'$ , $S(a)$ , siehe auch Unendlichkeitsaxiom, induktive Menge)
wird auf natürliche Weise fortgesetzt für echte Urelemente (ungleich der Leermenge)
$a^{+}:=\{a\}$
und für eigentliche Klassen
$a^{+}:=a$ .
Eine für alle diese drei Fälle gültige Paardarstellung ist dann
$(a,b)_{\text{all}}:=(a^{+},b^{+})_{\text{Schmidt}}$ .
Im Fall echter Urelemente wird die der Schmidtschen zugrunde liegende ursprüngliche Paardarstellung (etwa nach Kuratowski) reproduziert:
$(a,b)_{\text{all}}=(\{a\},\{b\})_{\text{Schmidt}}=\bigcup _{x\in \{a\}}\bigcup _{x\in \{b\}}(x,y)=(a,b)$ ;
im Fall eigentlicher Klassen per Definition die Schmidtsche selbst:
$(a,b)_{\text{all}}=(a,b)_{\text{Schmidt}}$ ;
für Mengen $a,b$ wird vorausgesetzt, dass $a^{+}=b^{+}\Leftrightarrow a=b$ gilt, was für viele Mengentheorien (ZFU, ZFCU, Quine-Atome, Peter Aczels Hyperset Theory, …) erfüllt ist.