Proendliche Zahl (German Wikipedia)

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doi.org

#Gille 3. Die proendliche Vervollständigung von $\mathbb {Z}$ Philippe Gille, Tamás Szamuely: Central Simple Algebras and Galois Cohomology. (PDF; 1,8 MB) doi:10.2277/0521861039.

ethz.ch

people.math.ethz.ch

#Brugger Satz 7.2. Jon Brugger: Pro-endliche Gruppen. (PDF; 264 kB)

euro-math-soc.eu

Im Abschnitt Pseudometrik#Definition einer Spanne durch eine uniforme Struktur wird ausgehend von einer uniformen Struktur, hier

\Phi ,

unter Zuhilfenahme der Abzählbarkeit des Fundamentalsystems eine Pseudometrik konstruiert, die ihrerseits wieder

\Phi

induziert.
Es gibt jedoch sogar eine Metrik, die die uniforme Struktur

\Phi

induziert:

Sei dazu

$v(x):=\;{\begin{cases}\\\\\end{cases}}$	$+\infty$	für $x=0$ ,
$v(x):=\;{\begin{cases}\\\\\end{cases}}$	$\max\{n\in \mathbb {N} \,\mid \,n!\|x\}$	sonst.

der „!-Wert“ eines

x\in \mathbb {Z}

. [

v

misst die Nähe zur Null (den Grad der Teilbarkeit) von

x

durch Teiler der Form

n!

(gesprochen: enn Fakultät) – in Analogie zum

p

-Wert in den Ringen

\mathbb {Z} _{p},

der den maximalen Exponenten

n

bei der Teilbarkeit durch

p^{n}

angibt, oder auch zu

\varepsilon \to 0

(s. Lenstra Profinite number theory. S. 21) in den archimedischen Systemen.]

Dann gilt für

x,y\in \mathbb {Z}

mit

v(x)\leq v(y)

x=\xi v(x)!,\quad y=\eta v(y)!

mit passenden

\xi ,\eta \in \mathbb {Z}

und

x+y=v(x)!(\xi +\eta v(y)!/v(x)!),

woraus

v(x+y)\geq v(x).

Der symmetrische Fall

v(x)\geq v(y)

führt zu

v(x+y)\geq v(y).

Beide Fälle zusammen ergeben

v(x+y)\geq \min\{v(x),v(y)\}.

Die damit gebildete Abstandsfunktion

{\text{d}}\left(x,y\right):={\text{e}}^{-v(x-y)}

erfüllt die Forderungen für eine Metrik und ist eine Ultrametrik:

(1) Positive Definitheit:	${\text{d}}\left(x,y\right)\geq 0$ und ${\text{d}}\left(x,y\right)=0\Leftrightarrow x=y$
(2) Symmetrie:	${\text{d}}\left(x,y\right)={\text{d}}(y,x)$
(3) Verschärfte Dreiecksungleichung:	${\text{d}}(x,y)\leq \max\{{\text{d}}(x,z),{\text{d}}(z,y)\}$

Diese Metrik ist wie die uniforme Struktur im Text durch den Grad der Teilbarkeit definiert, so dass sie als uniforme Strukturen übereinstimmen.

NB: Die Folge $\left(n!\right)_{n\in \mathbb {N} }$ ist kofinal in $(\mathbb {N} ,|)$ . Und jede monotone kofinale Folge definiert eine Metrik mit derselben uniformen Struktur.

Hendrik Lenstra: Profinite number theory. (PDF; 567 kB)

Lenstra Profinite number theory. S. 17 Hendrik Lenstra: Profinite number theory. (PDF; 567 kB)
Lenstra Profinite number theory. S. 7 Hendrik Lenstra: Profinite number theory. (PDF; 567 kB)

leidenuniv.nl

websites.math.leidenuniv.nl

Dies ist in Einklang mit der Konvention bei fakultätsbasierten Zahlensystemen (so auch bei Lenstra Profinite Groups Example 2.2). Hendrik Lenstra: Profinite Groups. (PDF; 127 kB).
Lenstra Profinite Groups Example 2.1 Hendrik Lenstra: Profinite Groups. (PDF; 127 kB).

math.leidenuniv.nl

Lenstra Profinite Fibonacci numbers. S. 299 Hendrik Lenstra: Profinite Fibonacci numbers. (PDF; 351 kB)

uni-leipzig.de

math.uni-leipzig.de

#Gille 3. Die proendliche Vervollständigung von $\mathbb {Z}$ Philippe Gille, Tamás Szamuely: Central Simple Algebras and Galois Cohomology. (PDF; 1,8 MB) doi:10.2277/0521861039.

wolfram.com

mathworld.wolfram.com

mathworld.wolfram.com Eric W. Weisstein „Kleinstes gemeinsames Vielfaches.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource