Sequent calculus (English Wikipedia)

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Gentzen 1934, Gentzen 1935. Gentzen, Gerhard Karl Erich (1934). "Untersuchungen über das logische Schließen. I". Mathematische Zeitschrift. 39 (2): 176–210. doi:10.1007/BF01201353. S2CID 121546341. Gentzen, Gerhard Karl Erich (1935). "Untersuchungen über das logische Schließen. II". Mathematische Zeitschrift. 39 (3): 405–431. doi:10.1007/bf01201363. S2CID 186239837.
For explanations of the disjunctive semantics for the right side of sequents, see Curry 1977, pp. 189–190, Kleene 2002, pp. 290, 297, Kleene 2009, p. 441, Hilbert & Bernays 1970, p. 385, Smullyan 1995, pp. 104–105 and Gentzen 1934, p. 180. Curry, Haskell Brooks (1977) [1963]. Foundations of mathematical logic. New York: Dover Publications Inc. ISBN 978-0-486-63462-3. Kleene, Stephen Cole (2002) [1967]. Mathematical logic. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42533-7. Kleene, Stephen Cole (2009) [1952]. Introduction to metamathematics. Ishi Press International. ISBN 978-0-923891-57-2. Hilbert, David; Bernays, Paul (1970) [1939]. Grundlagen der Mathematik II (Second ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-86897-9. Smullyan, Raymond Merrill (1995) [1968]. First-order logic. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68370-6. Gentzen, Gerhard Karl Erich (1934). "Untersuchungen über das logische Schließen. I". Mathematische Zeitschrift. 39 (2): 176–210. doi:10.1007/BF01201353. S2CID 121546341.
Gentzen 1934, p. 188. "Der Kalkül NJ hat manche formale Unschönheiten." Gentzen, Gerhard Karl Erich (1934). "Untersuchungen über das logische Schließen. I". Mathematische Zeitschrift. 39 (2): 176–210. doi:10.1007/BF01201353. S2CID 121546341.
Gentzen 1934, p. 191. "In dem klassischen Kalkül NK nahm der Satz vom ausgeschlossenen Dritten eine Sonderstellung unter den Schlußweisen ein [...], indem er sich der Einführungs- und Beseitigungssystematik nicht einfügte. Bei dem im folgenden anzugebenden logistischen klassichen Kalkül LK wird diese Sonderstellung aufgehoben." Gentzen, Gerhard Karl Erich (1934). "Untersuchungen über das logische Schließen. I". Mathematische Zeitschrift. 39 (2): 176–210. doi:10.1007/BF01201353. S2CID 121546341.
Gentzen 1934, p. 191. "Die damit erreichte Symmetrie erweist sich als für die klassische Logik angemessener." Gentzen, Gerhard Karl Erich (1934). "Untersuchungen über das logische Schließen. I". Mathematische Zeitschrift. 39 (2): 176–210. doi:10.1007/BF01201353. S2CID 121546341.
Gentzen 1934, p. 191. "Hiermit haben wir einige Gesichtspunkte zur Begründung der Aufstellung der folgenden Kalküle angegeben. Im wesentlichen ist ihre Form jedoch durch die Rücksicht auf den nachher zu beweisenden 'Hauptsatz' bestimmt und kann daher vorläufig nicht näher begründet werden." Gentzen, Gerhard Karl Erich (1934). "Untersuchungen über das logische Schließen. I". Mathematische Zeitschrift. 39 (2): 176–210. doi:10.1007/BF01201353. S2CID 121546341.
Gentzen 1934, p. 194, wrote: "Der Unterschied zwischen intuitionistischer und klassischer Logik ist bei den Kalkülen LJ und LK äußerlich ganz anderer Art als bei NJ und NK. Dort bestand er in Weglassung bzw. Hinzunahme des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten, während er hier durch die Sukzedensbedingung ausgedrückt wird." English translation: "The difference between intuitionistic and classical logic is in the case of the calculi LJ and LK of an extremely, totally different kind to the case of NJ and NK. In the latter case, it consisted of the removal or addition respectively of the excluded middle rule, whereas in the former case, it is expressed through the succedent conditions." Gentzen, Gerhard Karl Erich (1934). "Untersuchungen über das logische Schließen. I". Mathematische Zeitschrift. 39 (2): 176–210. doi:10.1007/BF01201353. S2CID 121546341.

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Gentzen 1934, Gentzen 1935. Gentzen, Gerhard Karl Erich (1934). "Untersuchungen über das logische Schließen. I". Mathematische Zeitschrift. 39 (2): 176–210. doi:10.1007/BF01201353. S2CID 121546341. Gentzen, Gerhard Karl Erich (1935). "Untersuchungen über das logische Schließen. II". Mathematische Zeitschrift. 39 (3): 405–431. doi:10.1007/bf01201363. S2CID 186239837.
For explanations of the disjunctive semantics for the right side of sequents, see Curry 1977, pp. 189–190, Kleene 2002, pp. 290, 297, Kleene 2009, p. 441, Hilbert & Bernays 1970, p. 385, Smullyan 1995, pp. 104–105 and Gentzen 1934, p. 180. Curry, Haskell Brooks (1977) [1963]. Foundations of mathematical logic. New York: Dover Publications Inc. ISBN 978-0-486-63462-3. Kleene, Stephen Cole (2002) [1967]. Mathematical logic. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42533-7. Kleene, Stephen Cole (2009) [1952]. Introduction to metamathematics. Ishi Press International. ISBN 978-0-923891-57-2. Hilbert, David; Bernays, Paul (1970) [1939]. Grundlagen der Mathematik II (Second ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-86897-9. Smullyan, Raymond Merrill (1995) [1968]. First-order logic. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68370-6. Gentzen, Gerhard Karl Erich (1934). "Untersuchungen über das logische Schließen. I". Mathematische Zeitschrift. 39 (2): 176–210. doi:10.1007/BF01201353. S2CID 121546341.
Gentzen 1934, p. 188. "Der Kalkül NJ hat manche formale Unschönheiten." Gentzen, Gerhard Karl Erich (1934). "Untersuchungen über das logische Schließen. I". Mathematische Zeitschrift. 39 (2): 176–210. doi:10.1007/BF01201353. S2CID 121546341.
Gentzen 1934, p. 191. "In dem klassischen Kalkül NK nahm der Satz vom ausgeschlossenen Dritten eine Sonderstellung unter den Schlußweisen ein [...], indem er sich der Einführungs- und Beseitigungssystematik nicht einfügte. Bei dem im folgenden anzugebenden logistischen klassichen Kalkül LK wird diese Sonderstellung aufgehoben." Gentzen, Gerhard Karl Erich (1934). "Untersuchungen über das logische Schließen. I". Mathematische Zeitschrift. 39 (2): 176–210. doi:10.1007/BF01201353. S2CID 121546341.
Gentzen 1934, p. 191. "Die damit erreichte Symmetrie erweist sich als für die klassische Logik angemessener." Gentzen, Gerhard Karl Erich (1934). "Untersuchungen über das logische Schließen. I". Mathematische Zeitschrift. 39 (2): 176–210. doi:10.1007/BF01201353. S2CID 121546341.
Gentzen 1934, p. 191. "Hiermit haben wir einige Gesichtspunkte zur Begründung der Aufstellung der folgenden Kalküle angegeben. Im wesentlichen ist ihre Form jedoch durch die Rücksicht auf den nachher zu beweisenden 'Hauptsatz' bestimmt und kann daher vorläufig nicht näher begründet werden." Gentzen, Gerhard Karl Erich (1934). "Untersuchungen über das logische Schließen. I". Mathematische Zeitschrift. 39 (2): 176–210. doi:10.1007/BF01201353. S2CID 121546341.
Gentzen 1934, p. 194, wrote: "Der Unterschied zwischen intuitionistischer und klassischer Logik ist bei den Kalkülen LJ und LK äußerlich ganz anderer Art als bei NJ und NK. Dort bestand er in Weglassung bzw. Hinzunahme des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten, während er hier durch die Sukzedensbedingung ausgedrückt wird." English translation: "The difference between intuitionistic and classical logic is in the case of the calculi LJ and LK of an extremely, totally different kind to the case of NJ and NK. In the latter case, it consisted of the removal or addition respectively of the excluded middle rule, whereas in the former case, it is expressed through the succedent conditions." Gentzen, Gerhard Karl Erich (1934). "Untersuchungen über das logische Schließen. I". Mathematische Zeitschrift. 39 (2): 176–210. doi:10.1007/BF01201353. S2CID 121546341.

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"Remember, the way that you prove an implication is by assuming the hypothesis."—Philip Wadler, on 2 November 2015, in his Keynote: "Propositions as Types". Minute 14:36 /55:28 of Code Mesh video clip