Para una visión mas profunda de estos desarrollos, ver A.G. Dragalin (originator) Intuitionism. en Encyclopedia of Mathematics.
etymonline.com
Natura es la traducción latina de la palabra griega physis (φύσις), que en su significado original hacía referencia a la forma innata en la que crecen espontáneamente plantas y animales. (ver D. Harper Physical). En Idioma alemán el término "naturaleza" proviene de naturist, que significa "el curso de los animales, carácter natural."(ver D. Harper: Nature
Ferran Mir Sabaté (2006): Las discusiones posteriores sobre la filosofía matemática (la metamatemática) ilustrarán las distintas concepciones de la disciplina. Durante los años 20s se desarrollará un profundo debate sobre las bases de las matemáticas que, a pesar de su cierre aparente, sigue vigente en nuestros días. en LA POLEMICA INTUICIONISMO FORMALISMO EN LOS AÑOS 20. Cuaderno de Materiales. Num. 23 (2011). ISSN 1139-4382. Pàginas 557-574.
«El problema de los universales». www.filosofia.net. Seminario de Filosofía INBAD, Servicio de Publicaciones del MEC, Madrid, 1985. Consultado el 17 de octubre de 2019.
Por ejemplo: Iván Pedro Guevara V (2008): "La filosofía ha considerado siempre la matemática como uno de los objetos principales de sus investigaciones,.. " en LA FILOSOFIA DE LA MATEMATICA: LA RAZON DE SER DEL NUMERO.- Diego Fusaro: "Siempre hay una relación inseparable entre la matemática y la filosofía.." en IL RAPPORTO FILOSOFIA - MATEMATICA (en italiano en el original)
ver: Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy (1973): Foundations of set theory p 259
Michel Bordeau: El Error de Cantor en Jorge Martínez Contreras, Aura Ponce de León, Luis Villoro: El saber filosófico esp pp 396- 405
Para profundizar estas, ver: Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy (1973): Foundations of set theory pp 252-264: "The Primordial intution of integer: Choice sequences and Brouwer's concept of set
Para una visión general del empirismo matemático, ver David Bostock (2009): "Empiricism in the Philosophy of Mathematics" en D. M. Gabbay; P. Thagard; J. Woods (edtrs): Philosophy of Mathematics p 157- 230
Diego Pareja H (2008): "el concepto moderno de formalismo que incluye las técnicas del razonamiento finitista debemos atribuirlo a Hilbert y a sus discípulos." en 5. 8 – David Hilbert y el formalismo. Razonamientos finistas son aquellos "razonamientos absolutamente seguros y libres de cualquier clase de sospecha" (ibid)
DIEGO PAREJA HEREDIA: "Para los intuicionistas las bases de las matemáticas estaban en la explicación del origen, o la esencia de los números naturales 1, 2, 3,... Para la filosofía intuicionista, todo ser humano tiene una intuición congénita en relación con los números naturales. Esto significa en primer lugar que tenemos una certeza inmediata de lo que significamos con el número “1”, y en segundo lugar, que el proceso mental que originó el numero 1 puede repetirse. La repetición de este proceso, induce la creación del número 2, una nueva repetición y aparece el número 3. En esta forma, el ser humano puede construir cualquier segmento inicial 1, 2, 3,..., n, donde n es un natural arbitrario. Esta construcción mental de un número natural tras de otro, nunca podría darse, si no tuviéramos dentro de nosotros, una preconcepción del tiempo. Cuando afirmamos 2 va después de 1, el término “después” tiene una connotación de tiempo, y en ese aspecto Brouwer se adhiere al filósofo Immanuel Kant (1724-1804) para quien la mente humana tiene una apreciación inmediata de la noción de tiempo. Kant usó la palabra “intuición” para “apreciación inmediata”, y es de allí de donde proviene el término “intuicionismo”. " en 5.7 – Brouwer, Heyting y el Intuicionismo.
Keith Hossack (1991): Access to Mathematical Objects.-Crítica: Revista Hispanoamericana de Filosofía.- Vol XXIII, N 68 (Agosto 1991) 157- 181
mercaba.org
J. BARRIO GUTIÉRREZ: "Intuicionismo matemático. Una de las corrientes matemáticas de más fecundidad en el momento actual es el llamado Intuicionismo matemático. En oposición al formalismo de Hilbert (v.), fue creado por L. Brouwer (v.) sobre la base de anteriores ideas defendidas por L. Kronecker. La tesis fundamental de este i(ntuicionismo) es la afirmación de que la Matemática (v.) está constituida exclusivamente por un conjunto de entes construidos intuitivamente por el matemático, sobre los que se seguirán construyendo otros mediante un sistema operacional claro, preciso y fecundo." en INTUICIONISMO
newscientist.com
Davies, Paul. «Is nature mathematical?». New Scientist(en inglés estadounidense). Consultado el 21 de agosto de 2020.
Ian J. Dove: En su forma más simple el deductivismo es la visión que la matemática consiste enteramente de la derivación de teoremas a partir de axiomas. Es esa visión las únicas verdades en matemáticas son verdades condicionales de la forma Si (axioma); Entonces (teoremas)." en Certainty and Error in Mathematics: Deductivism and the Claims of Mathematical Fallibilism, p 5
Ian J. Dove: "A través de evitar el asunto de la verdad de los axiomas y teoremas, el deductivismo es capaz de evitar el problema de la epistemología de las matemáticas y lo reemplaza con el de la epistemología de la lógica... el deductivismo es anti-realista o, por lo menos, neutral en relación a la existencia de objetos abstractos. " en Certainty and Error in Mathematics: Deductivism and the Claims of Mathematical Fallibilism, p 5
Horsten, Leon, Philosophy of Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
Heinzmann, Gerhard; Stump, David (2017). Zalta, Edward N., ed. Henri Poincaré (Winter 2017 edición). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado el 26 de agosto de 2020.
van Atten, Mark: "Sobre la base de su filosofía de la mente, en la que Kant y Schopenhauer fueron las principales influencias, Brouwer caracteriza principalmente las matemáticas como la libre actividad del pensamiento exacto, una actividad que se basa en la intuición pura del tiempo (interior). Ningún reino independiente de los objetos y el lenguaje juegan algún papel fundamental. De este modo se esforzó por evitar la Escila del platonismo (con sus problemas epistemológico) y el Caribdis del formalismo (con su pobreza de contenido). Dado que, en vista de Brouwer, no hay factor determinante de la verdad matemática fuera de la actividad de pensar, una proposición sólo se hace realidad cuando el sujeto ha experimentado su verdad (por haber llevado a cabo una construcción mental apropiado), de manera similar, una proposición sólo es falsa cuando el sujeto ha experimentado su falsedad (por darse cuenta de que una construcción mental apropiado no es posible). Por lo tanto Brouwer puede afirmar que "no hay verdades sin experiencia" (Brouwer, 1975, p.488)." en 3. Brief Characterization of Brouwer's Intuitionism" en Luitzen Egbertus Jan Brouwer
van Atten, Mark: "Los teoremas fundamentales del análisis intuicionista - el teorema de la barra, el teorema del abanico, y el teorema de la continuidad - se encuentran en "Sobre los dominios de definición de las funciones" (Brouwer, 1927). Los dos primeros son teoremas estructurales sobre los diferenciales, y el tercero (que no debe confundirse con el principio de continuidad para las secuencias de elección) establece que cada función total [0,1] → ℝ es continua e incluso uniformemente continua. El teorema del abanico es, de hecho, un corolario del teorema de la barra; combinado con el principio de continuidad, que no es válido clásicamente, produce el teorema de continuidad, que tampoco es clásicamente válido. Los teoremas de las barras y el abanico son, por otro lado, clásicamente válido, aunque las pruebas clásicas y intuicionista para ellos no son intercambiables. Las pruebas clásicas no son “intuicionisticamente” aceptable debido a la manera en que depender de PEM, las pruebas intuicionistas no son clásicamente aceptables porque dependen de la reflexión sobre la estructura de las pruebas mentales. En esta reflexión, Brouwer introdujo la noción de la forma de una prueba con "análisis completo" o "canónica", que sería adoptada más tarde por Martin-Löf y por Dummett. En una nota al pie, Brouwer menciona que tales pruebas, que él identifica con los objetos mentales en la mente del sujeto, suelen ser infinitas." en 4. Brouwer's Development of Intuitionism en Luitzen Egbertus Jan Brouwer
Horsten, Leon. «Philosophy of Mathematics». En Edward N. Zalta, ed. Stanford Encyclopedia of Philosophy(en inglés) (Fall 2008 Edition).
Bridges, Douglas, punto 3.3: Bishop's Constructive Mathematics en Constructive Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
Balaguer, Mark (2018). Zalta, Edward N., ed. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2018 edición). Metaphysics Research Lab, Stanford University. Consultado el 9 de julio de 2019.
Kusch, Martin (2020). Zalta, Edward N., ed. Psychologism (Spring 2020 edición). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado el 26 de agosto de 2020.
Esta concepción se basa, de acuerdo a Angela Patricia Valencia Salas; Angela Patricia Franco Urián en "el uso de la noción del tiempo como base primordial de su elaboración del continuo. El tiempo es el único elemento “a priori” del continuo. Este se basa en lo que Brouwer denomina “intuición primordial o primigenia”, que consiste en la capacidad de conciencia de la relación entre antes-después, pasado-presente, como unidad de lo continuo y lo discreto, la posibilidad de pensar a la vez en singularidades unidas por un "entre" que nunca se agota por inserción de nuevas singularidades, por tanto es imposible tomar alguno de ellos como autosuficiente construir el otro a partir de ahí. Zalamea (2001) menciona que uno de los rasgos que caracteriza la idea de un continuo sintético es la Genericidad, que refiere a lo no particularizante, a la iniciación de un gran espacio de posibilidades no actualizadas ni determinadas y esto se observa en Brouwer tomando como base su Intuición Primigenia." en SOBRE UNA CONSTRUCCIÒN ALTERNATIVA AL CONTINUO DE CANTOR: EL CONTINUO INTUICIONISTAArchivado el 5 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
Por ejemplo: Iván Pedro Guevara V (2008): "La filosofía ha considerado siempre la matemática como uno de los objetos principales de sus investigaciones,.. " en LA FILOSOFIA DE LA MATEMATICA: LA RAZON DE SER DEL NUMERO.- Diego Fusaro: "Siempre hay una relación inseparable entre la matemática y la filosofía.." en IL RAPPORTO FILOSOFIA - MATEMATICA (en italiano en el original)
revista.unam.mx
Carlos Torres A: "El intuicionismo fue la respuesta de Brouwer al logicismo de Russell, a la matemática no constructiva y a las paradojas, y se apoya en tres tesis radicales: i) los objetos matemáticos se construyen directamente en la intuición pura, siendo por ello previos al lenguaje y a la lógica; ii) las leyes que rigen el comportamiento de dichos objetos derivan de su construcción, no de la lógica, como pretenden Frege, Russell y los logicistas 33 y iii) en la matemática no es admisible ninguna teoría que rebase el marco de lo dable en la intuición, como sostienen Hilbert y los cantorianos." en KANT VISTO DESDE LAS MATEMÁTICAS revista unam vol.6/num 1 (2005) sección “ El intuicionismo de Brouwer”, pp 15-19
La "intuición" a la que se hace referencia tiene un sentido más bien especializado: Miguel Espinoza: "Se supone que un conocimiento intuitivo no ocurre en etapas, no es gradual como una inferencia, como el conocimiento que presupone el lenguaje, como la aplicación de un algoritmo. Digo "se supone" porque la inmidiatez podría ser una ilusión. Que la conciencia sea incapaz de seguir los diferentes pasos del cerebro no significa que biológicamente haya también inmediatez. La rapidez de un ordenador no implica intuición. A veces en matemáticas se entiende también por intuición las operaciones de calculo o lo que llega a entenderse fácilmente. En la intuición, lo aprehendido y la operación de la mente forman un solo proceso, tienen una sola forma, por eso no se plantea el problema de la verdad-adecuacion. Para preguntarnos si lo que pensamos corresponde o no a algo externo al pensamiento, es necesario que el intelecto y la cosa estén separados. Esto no ocurre en la intuición. Es entonces la falta de distinción sujeto-objeto, la inmediatez atribuida a la intuición que ha dado a los intuicionistas la confianza en este modo de conocimiento. Toda inferencia debe estar basada finalmente en verdades intuitivas", en Intuicionismo y objetividad p 101-102
De acuerdo a Brouwer "un ente solo existe si puede ser construido a partir de la intuición primordial".- Brouwer, citado por Espinoza en Intuicionismo y objetividad p 110.
Internet Enciclopedia of Philosophy: Mathematical Platonism «Cualquiera explicación metafísica de las matemáticas que implica que las entidades matemáticas existen, que son abstractos, y que son independientes de todas nuestras actividades racionales.»
P Maddy, citada por Luis Miguel Ángel Cano P (2003) en Frege y la nueva lógica. «El realismo, por tanto, es el punto de vista que sostiene que la matemática es la ciencia de los números, conjuntos, funciones, etc., tal y como la física es el estudio de los objetos físicos ordinarios, cuerpos astronómicos y partículas subatómicas entre otros. Esto es, la matemática trata acerca de esos objetos, y es el modo en que tales objetos son lo que hace a los enunciados de la matemática verdaderos o falsos.»
García Buitrago, Néstor. SI YO FUERA MAESTRO. p. 401. Archivado desde el original el 9 de marzo de 2012. Consultado el 3 de marzo de 2020.
Ferran Mir S (2006): "La conocida intervención de David Hilbert (1862-1943) en el Congreso Internacional de Paris de 1900, en la que planteo los 23 problemas matemáticos a resolver durante el siglo XX, iba mucho más allá de la mera relación de dichos problemas. La convicción claramente expresada por Hilbert de que todo problema ha de tener su solución basada en la pura razón [6, Pags. 125 y ss.]: "En las matemáticas no existe el ignorabimus". Un año antes, Hilbert había publicado su Grundlagen der Geometrie, en el que establecía los axiomas a partir de los cuales podía desarrollarse, mediante pura deducción, toda la disciplina en todas sus variantes, tanto euclideas como no euclideas. Mediante este ideal axiomático podía construir un raciocinio sobre objetos que no necesitaba definir; al contrario de Euclides que había precisado de una definición (intuitiva) de los objetos básicos (punto, línea, plano, etc.). El hecho de prescindir de las definiciones de los objetos básicos, hace que se le haya reprochado la reducción de las matemáticas al estudio de las simples relaciones entre objetos abstractos: un puro juego con símbolos. La combinación del ideal axiomático con la convicción de que todo problema debe tener solución, conducirá en los años sucesivos a la idea de completud del sistema axiomático. En los primeros años del siglo XX, esta idea es todavía vaga [13, P·g. 151], pero esta claro que Hilbert considera que desde un reducido grupo de axiomas pueden derivarse la totalidad de los teoremas aceptados en las matemáticas ordinarias. También esta presente la idea de simplicidad: el conjunto de axiomas ha de ser lo más reducido posible y deben ser independientes unos de otros." en LA POLEMICA INTUICIONISMO FORMALISMO EN LOS AÑOS 20.
Esta concepción se basa, de acuerdo a Angela Patricia Valencia Salas; Angela Patricia Franco Urián en "el uso de la noción del tiempo como base primordial de su elaboración del continuo. El tiempo es el único elemento “a priori” del continuo. Este se basa en lo que Brouwer denomina “intuición primordial o primigenia”, que consiste en la capacidad de conciencia de la relación entre antes-después, pasado-presente, como unidad de lo continuo y lo discreto, la posibilidad de pensar a la vez en singularidades unidas por un "entre" que nunca se agota por inserción de nuevas singularidades, por tanto es imposible tomar alguno de ellos como autosuficiente construir el otro a partir de ahí. Zalamea (2001) menciona que uno de los rasgos que caracteriza la idea de un continuo sintético es la Genericidad, que refiere a lo no particularizante, a la iniciación de un gran espacio de posibilidades no actualizadas ni determinadas y esto se observa en Brouwer tomando como base su Intuición Primigenia." en SOBRE UNA CONSTRUCCIÒN ALTERNATIVA AL CONTINUO DE CANTOR: EL CONTINUO INTUICIONISTAArchivado el 5 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
6.372 Así se quedan hoy ante las leyes de la Naturaleza como ante algo intocable, como los antiguos ante Dios y el destino. Y de hecho ambos tienen razón y ambos están equivocados: los antiguos son, hay que decirlo, más claros porque reconocen un límite explícito, mientras que en el nuevo sistema debe parecer como si todo estuviera explicado.Tractatus Logico-Philosophicus.
6.36 Si hubiera una ley de causalidad, podría formularse de la siguiente manera: Hay leyes de la Naturaleza. Pero por supuesto esto no puede ser dicho: se hace manifiesto.Tractatus Logico-Philosophicus.
6.432 Cómo sean las cosas en el mundo es un asunto completamente indiferente para lo superior. Dios no se revela en el mundo.Tractatus Logico-Philosophicus.
6.54 Mis proposiciones aclaran en la medida en que aparecen como absurdas a aquél que las ha entendido, cuando ha pasado por ellas, sobre ellas y queda por encima de ellas. (Debe, por así decir, tirar la escala después de ascender por ella.)Tractatus Logico-Philosophicus.
