En conséquence, de nombreux mathématiciens utilisent l'expression connexion linéaire pour les connexions du fibré tangent, puisque le transport parallèle est linéaire et non affine. Cependant, la même propriété est vraie des connexions sur un fibré vectoriel (qu'il soit de Koszul or d'Ehresmann). Au départ, le terme connexion affine est une abréviation de connexion de Cartan(en) affine, ce qui suppose que la connexion est définie sur le fibré tangent, plutôt que sur un fibré vectoriel arbitraire. La notion de connexion de Cartan linéaire n'a guère de sens, parce que les représentations linéaires ne sont pas transitives.
Il est difficile de rendre les intuitions de Cartan précises sans faire appel à l'analyse infinitésimale lisse(en) (une branche de la théorie des topoi), mais une approche est de considérer ses points comme étant variables, c'est-à-dire des applications d'un espace de paramètres dans la variété, que l'on peut alors différentier.
