Fonction multivaluée (French Wikipedia)

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Le contenu de cette section est issu du § 2.3.2 de (en) J. F. Bonnans et A. Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems, New York, Springer, 2000 (lire en ligne).
On parle ici de singularité au sens large du terme (et donc pas uniquement d'une singularité isolée) c'est-à-dire que la fonction n'est pas analytique en la singularité mais que n'importe quel voisinage ouvert non vide de la singularité contient au moins un point pour lequel la fonction est analytique. Cf. (en) John H. Mathews et Russel W. Howell, Complex Analysis for Mathematics and Engineering, Jones & Bartlett (en), 1997, 3^e éd. (lire en ligne), p. 232.

Dû à (en) C. Ursescu, « Multifunctions with convex closed graph », Czechoslovak Mathematical Journal, vol. 25, n^o 3,‎ 1975, p. 438-441 et (en) S. M. Robinson, « Regularity and stability for convex multivalued functions », Mathematics of Operations Research, vol. 1, n^o 2,‎ 1976, p. 130-143 (DOI 10.1287/moor.1.2.130).

Cf. Aubin et Frankowska 2009, p. 38 ou Migórski, Ochal et Sofonea 2012, p. 53, ou encore :
- Casimir Kuratowski, « Les fonctions semi-continues dans l'espace des ensembles fermés », Fund. Math., vol. 18,‎ 1932, p. 148-159 (lire en ligne)

Migórski, Ochal et Sofonea 2012, p. 54. Cependant, Smithson 1965, p. 682, Smithson 1975, p. 283, Borges 1967, p. 452 et Joseph 1980 réservent le qualificatif « fermée » aux multifonctions $F:X\multimap Y$ $F:X\multimap Y$ (entre espaces topologiques quelconques) telles que, pour tout fermé $A$ $A$ de $X$ $X$ , $F(A)$ $F(A)$ est un fermé de $Y$ $Y$ , ce qui étend aux multifonctions la notion d'application fermée. Joseph 1980, p. 166 définit en outre celle de multifonction localement fermée :
- (en) Raymond E. Smithson, « Some general properties of multi-valued functions », Pacific J. Math., vol. 12, n^o 2,‎ 1965, p. 681-703 (lire en ligne)

On parle ici de singularité au sens large du terme (et donc pas uniquement d'une singularité isolée) c'est-à-dire que la fonction n'est pas analytique en la singularité mais que n'importe quel voisinage ouvert non vide de la singularité contient au moins un point pour lequel la fonction est analytique. Cf. (en) John H. Mathews et Russel W. Howell, Complex Analysis for Mathematics and Engineering, Jones & Bartlett (en), 1997, 3^e éd. (lire en ligne), p. 232.