Fonction zêta de Riemann (French Wikipedia)

Analysis of information sources in references of the Wikipedia article "Fonction zêta de Riemann" in French language version.

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Voir Tenenbaum 2008, p. 253 ; P. Cartier, « An Introduction to Zeta-Functions », in (en) M. Waldschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck et C. Itzykson (éds.), From Number Theory to Physics [détail des éditions], p. 5-12, et surtout 11-12, suivi ici (aperçu sur Google Livres).
(en) I. M. Vinogradov, Elements of Number Theory, Dover, 2003, 227 p. (ISBN 978-0-486-49530-9, lire en ligne), p. 38 ; (en) J. E. Nymann, « On the probability that k positive integers are relatively prime », J. Number Theory, vol. 4, n^o 5,‎ 1972, p. 469-473 (DOI 10.1016/0022-314X(72)90038-8) ; (en) Richard A. Mollin, Advanced Number Theory with Applications, CRC Press, coll. « Discrete Mathematics and Its Applications », 2009, 440 p. (ISBN 978-1-4200-8329-3, lire en ligne), p. 220.

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Article de Laforgia et Natalini.

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On trouvera par exemple quatorze démonstrations (en anglais) de la valeur $ζ(2) = π 2 /6$ sur le site internet de Robin Chapman.

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On peut aussi, comme le fait Tenenbaum 2008, p. 233-234 (p. 142 de l'édition en anglais), le déduire de la définition par une intégrale de contour.

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Tanguy Rivoal, « La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs », Comptes rendus de l'Académie des sciences, i, vol. 331, n^o 4,‎ 2000, p. 267-270 (DOI 10.1016/S0764-4442(00)01624-4, Bibcode 2000CRASM.331..267R, arXiv math/0008051).
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Article de Ahsan, Lam-Estrada, Lopez-Bonilla et Lopez-Vazquez.

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On pourra lire également : Philippe Biane, « La fonction zêta de Riemann et les probabilités », 2003, Journées X-UPS.

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(en) Wadim Zudilin, « One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational », Russ. Math. Surv. (en), vol. 56, n^o 4,‎ 2001, p. 774-776 (DOI 10.1070/RM2001v056n04ABEH000427, Bibcode 2001RuMaS..56..774Z).

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Il est aussi possible de calculer $ζ(2 k)$ à l'aide de l'égalité de Parseval. Voir à ce propos la page Exercices sur les séries de Fourier et la fonction zêta sur Wikiversité.
Pour une généralisation de cette section aux fonctions zêta de Hurwitz, avec une preuve plus simple, voir cet exercice corrigé sur Wikiversité.
Ou la redémontrer directement par la même méthode qui, dans le cas particulier des fonctions zêta de Hurwitz (dont fait partie la fonction $ζ$ de Riemann), est élémentaire : voir cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Fonction zêta de Riemann (French Wikipedia)

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