Formules pour les nombres premiers (French Wikipedia)

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ams.org

(en) Pierre Dusart, « The kth prime is greater than k(ln k + ln ln k-1) for k≥2 », Mathematics of Computation, vol. 68,‎ 1999, p. 411–415 (lire en ligne) ; l'encadrement est valable pour n > 4 avec la convention $p_{2}=2$ et en fait, cet article donne des bornes un peu plus précises, mais valables seulement pour $n$ assez grand : on a (pour $n > 40000$ ) $n(\ln n+\ln \ln n-1)<p_{n}<n(\ln n+\ln \ln n-0,95);$ pour le cent millième nombre premier, $p_{100000}=1\,299\,709$ , cela correspond à l'encadrement $1\,295\,639<p_{100000}<1\,300\,639$ .
(en) William H. Mills, « A prime-representing function », Bull. Amer. Math. Soc.,‎ 1947, p. 604 et 1196 (lire en ligne).

arxiv.org

Boklan et Conway ont publié en mai 2016 une analyse très fine estimant la probabilité d'un autre nombre premier à moins d'un sur un milliard ((en) Boklan et Conway, « Expect at most one billionth of a new Fermat Prime! », Mathematical Intelligencer., Springer,‎ 2016 (arXiv 1605.01371v1)).
Ces formules figurent sur la page personnelle de leur auteur, Sebastián Martín Ruiz (es) ; il en a publié une démonstration en 2002 (en), en collaboration avec S. Sondow.
(en) Eric S. Rowland, A Natural Prime-Generating Recurrence, vol. 11, Journal of Integer Sequences, 2008, 08.2.8 (Bibcode 2008JIntS..11...28R, arXiv 0710.3217, lire en ligne)

books.google.com

(en) Steven R. Finch, Mathematical Constants, vol. II, Cambridge University Press, 2018 (lire en ligne), p. 171.

doi.org

dx.doi.org

Matiiassevitch a montré en 1999 qu'on peut ramener tout polynôme codant ainsi une relation diophantienne à un polynôme en 9 variables, mais au prix, dans cet exemple, d'un degré dépassant 10⁴⁵. Inversement, on a déterminé un polynôme de degré 4, mais à 56 variables ; voir à ce sujet (en) James P. Jones, « Universal diophantine equation », J. Symb. Logic, vol. 47, n^o 3,‎ 1982, p. 549–571 (DOI 10.2307/2273588).
(en) D. Fridman, J. Garbulsky, B. Glecer, J. Grime et M. T. Florentin, « A prime-representing constant », Amer. Math. Month., vol. 126, n^o 1,‎ janvier 2019, p. 70-72 (DOI 10.1080/00029890.2019.1530554, lire en ligne).

harvard.edu

ui.adsabs.harvard.edu

(en) Eric S. Rowland, A Natural Prime-Generating Recurrence, vol. 11, Journal of Integer Sequences, 2008, 08.2.8 (Bibcode 2008JIntS..11...28R, arXiv 0710.3217, lire en ligne)

maa.org

(en) Andrew Granville, Conférence à la MAA, décembre 2008, d'où sont tirées beaucoup des remarques informelles de cet article ; en voici l'enregistrement (audio) ; il est cependant conjecturé que, par exemple, c'est le cas du polynôme $n 2 + 1$ , et la conjecture de Bateman-Horn prédit le comportement de ces valeurs premières de manière bien confirmée empiriquement.
(en) James P. Jones, Daihachiro Sato (en), Hideo Wada et Douglas Wiens, « Diophantine representation of the set of prime numbers », Amer. Math. Monthly, vol. 83, n^o 6,‎ 1976, p. 449-464 (lire en ligne) (Prix Lester Randolph Ford 1977).

eulerarchive.maa.org

G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, 2007, p. 23, th. 21, dû à Goldbach (Lettre CLI, à Euler, 18 novembre 1752). Pour une généralisation, voir aussi le théorème 22, p. 24 et 83, dû à (en) Morgan Ward (en), « A generalization of a familiar theorem concerning prime numbers », J. London Math. Soc., vol. 5,‎ 1930, p. 106-107.

oeis.org

Suite A249270 de l'OEIS.
Suite A053669 de l'OEIS : « Smallest prime not dividing n ».

researchgate.net

(en) D. Fridman, J. Garbulsky, B. Glecer, J. Grime et M. T. Florentin, « A prime-representing constant », Amer. Math. Month., vol. 126, n^o 1,‎ janvier 2019, p. 70-72 (DOI 10.1080/00029890.2019.1530554, lire en ligne).

sciencesetavenir.fr

David Larousserie, « Nouvelle suite record pour les nombres premiers », sur Sciences et Avenir, 23 septembre 2010 (consulté le 4 mai 2018).

utm.edu

primes.utm.edu

(en) primes.utm.edu Conditional Calculation of pi(10^24).

uwaterloo.ca

cs.uwaterloo.ca

(en) Eric S. Rowland, A Natural Prime-Generating Recurrence, vol. 11, Journal of Integer Sequences, 2008, 08.2.8 (Bibcode 2008JIntS..11...28R, arXiv 0710.3217, lire en ligne)

wanadoo.es

perso.wanadoo.es

Ces formules figurent sur la page personnelle de leur auteur, Sebastián Martín Ruiz (es) ; il en a publié une démonstration en 2002 (en), en collaboration avec S. Sondow.

wikipedia.org

en.wikipedia.org

G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, 2007, p. 23, th. 21, dû à Goldbach (Lettre CLI, à Euler, 18 novembre 1752). Pour une généralisation, voir aussi le théorème 22, p. 24 et 83, dû à (en) Morgan Ward (en), « A generalization of a familiar theorem concerning prime numbers », J. London Math. Soc., vol. 5,‎ 1930, p. 106-107.
(en) James P. Jones, Daihachiro Sato (en), Hideo Wada et Douglas Wiens, « Diophantine representation of the set of prime numbers », Amer. Math. Monthly, vol. 83, n^o 6,‎ 1976, p. 449-464 (lire en ligne) (Prix Lester Randolph Ford 1977).