Ce lemme n'a été formulé — sans expliciter la moindre hypothèse de convergence, et en confondant manifestement convergence conditionnelle et inconditionnelle — qu'en 1806 par Legendre dans la 4e édition de ses Éléments de géométrie (Note 4) et n'est donc démontré qu'implicitement par Lambert : « Legendre mentions nothing about convergence of his continued fraction. If one assumes the convergence […], his statement on irrationality is proved in the same way as Lambert […]. », (en) Rolf Wallisser, « On Lambert's proof of the irrationality of π », dans Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis (Graz, 1998), Berlin, (lire en ligne), p. 521-530. Pour cette raison peut-être (et sans remarquer la négligence de Legendre, que Lambert ne commet pas), ou plus probablement (selon l'analyse de (de) A. Pringsheim, « Ueber die ersten Beweise der Irrationalität von e und π », S'ber. math.-phys. München, vol. 28, , p. 325-337 (lire en ligne) rapportée par Wallisser), parce qu'il ne s'était penché que sur une vulgarisation de Lambert à propos de la quadrature du cercle, Ferdinand Rudio prétendit, en 1892 (Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre, rééd. 1971, p. 56-57), que la preuve par Lambert de l'irrationalité de π n'avait été rendue rigoureuse que par Legendre. Ce jugement hâtif, bien qu'aussitôt démenti en détail par Glaisher puis Pringsheim, a été largement propagé, voire déformé. Voir aussi Michel Serfati, Fragments d'histoire des mathématiques. T. 4. Quadrature du cercle, fractions continues et autres contes, APMEP, Paris, 1992 et d'autres références.
En 1888, Ivan Śleszyński a démontré (au moins) qu'en fait cette convergence a lieu dès que les an et bn sont des réels tels que |an| > |bn| + 1 : voir (de) A. Pringsheim, « Ueber die Convergenz unendlicher Kettenbrüche », S'ber. math.-phys. München, vol. 28, , p. 295-324 (lire en ligne) (note p. 312) et théorème de Śleszyński-Pringsheim.
De même (Perron 1913, p. 254), pour tous entiers strictement positifs m et n, √m tan(√m / n) est irrationnel, ce qui montre que π2 lui-même est irrationnel.
bnf.fr
gallica.bnf.fr
Charles Hermite, « Sur la fonction exponentielle », CRAS, vol. 77, , p. 18-24 (lire en ligne).
Liouville, « Communication verbale », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, (lire en ligne) (accès à l'article et analyse de Michel Mendès France) sur Bibnum. Voir cependant J. Liouville, « Sur des classes très-étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irrationnelles algébriques », J. Math. Pures Appl., 1re série, t. 16, (lire en ligne), où Liouville reformule et redémontre ses résultats en purs termes d'approximation diophantienne, sans les particulariser aux fractions continues.
Ce lemme n'a été formulé — sans expliciter la moindre hypothèse de convergence, et en confondant manifestement convergence conditionnelle et inconditionnelle — qu'en 1806 par Legendre dans la 4e édition de ses Éléments de géométrie (Note 4) et n'est donc démontré qu'implicitement par Lambert : « Legendre mentions nothing about convergence of his continued fraction. If one assumes the convergence […], his statement on irrationality is proved in the same way as Lambert […]. », (en) Rolf Wallisser, « On Lambert's proof of the irrationality of π », dans Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis (Graz, 1998), Berlin, (lire en ligne), p. 521-530. Pour cette raison peut-être (et sans remarquer la négligence de Legendre, que Lambert ne commet pas), ou plus probablement (selon l'analyse de (de) A. Pringsheim, « Ueber die ersten Beweise der Irrationalität von e und π », S'ber. math.-phys. München, vol. 28, , p. 325-337 (lire en ligne) rapportée par Wallisser), parce qu'il ne s'était penché que sur une vulgarisation de Lambert à propos de la quadrature du cercle, Ferdinand Rudio prétendit, en 1892 (Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre, rééd. 1971, p. 56-57), que la preuve par Lambert de l'irrationalité de π n'avait été rendue rigoureuse que par Legendre. Ce jugement hâtif, bien qu'aussitôt démenti en détail par Glaisher puis Pringsheim, a été largement propagé, voire déformé. Voir aussi Michel Serfati, Fragments d'histoire des mathématiques. T. 4. Quadrature du cercle, fractions continues et autres contes, APMEP, Paris, 1992 et d'autres références.
Liouville, « Communication verbale », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, (lire en ligne) (accès à l'article et analyse de Michel Mendès France) sur Bibnum. Voir cependant J. Liouville, « Sur des classes très-étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irrationnelles algébriques », J. Math. Pures Appl., 1re série, t. 16, (lire en ligne), où Liouville reformule et redémontre ses résultats en purs termes d'approximation diophantienne, sans les particulariser aux fractions continues.
mathforum.org
Ce lemme n'a été formulé — sans expliciter la moindre hypothèse de convergence, et en confondant manifestement convergence conditionnelle et inconditionnelle — qu'en 1806 par Legendre dans la 4e édition de ses Éléments de géométrie (Note 4) et n'est donc démontré qu'implicitement par Lambert : « Legendre mentions nothing about convergence of his continued fraction. If one assumes the convergence […], his statement on irrationality is proved in the same way as Lambert […]. », (en) Rolf Wallisser, « On Lambert's proof of the irrationality of π », dans Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis (Graz, 1998), Berlin, (lire en ligne), p. 521-530. Pour cette raison peut-être (et sans remarquer la négligence de Legendre, que Lambert ne commet pas), ou plus probablement (selon l'analyse de (de) A. Pringsheim, « Ueber die ersten Beweise der Irrationalität von e und π », S'ber. math.-phys. München, vol. 28, , p. 325-337 (lire en ligne) rapportée par Wallisser), parce qu'il ne s'était penché que sur une vulgarisation de Lambert à propos de la quadrature du cercle, Ferdinand Rudio prétendit, en 1892 (Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre, rééd. 1971, p. 56-57), que la preuve par Lambert de l'irrationalité de π n'avait été rendue rigoureuse que par Legendre. Ce jugement hâtif, bien qu'aussitôt démenti en détail par Glaisher puis Pringsheim, a été largement propagé, voire déformé. Voir aussi Michel Serfati, Fragments d'histoire des mathématiques. T. 4. Quadrature du cercle, fractions continues et autres contes, APMEP, Paris, 1992 et d'autres références.
(de) A. Hurwitz, « Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche », Math. Ann., vol. 39, , p. 279-284 (lire en ligne).
univ-mrs.fr
iml.univ-mrs.fr
(en) Gilles Lachaud, « Continued fractions, binary quadratic forms, quadratic fields, and zeta functions », dans Algebra and Topology 1988, Taejon, Korea Inst. Tech., (lire en ligne), p. 1-56.
irem.univ-mrs.fr
Ces informations, comme l'essentiel de ce paragraphe, proviennent de Claude Brezinski, « Ces étranges fractions qui n'en finissent pas », Conférence à l'IREM, Université de La Réunion, « diaporama », , p. 50 (lire en ligne).
