Pour les conditions 1 et 2, il n'est même pas nécessaire de supposer que N est une norme : les propriétés de séparation et d'homogénéité suffisent, la sous-additivité n'est pas requise a priori, cf (en) I. J. Schoenberg, « A remark on M. M. Day's characterization of inner product spaces and a conjecture of L. M. Blumenthal », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 3, , p. 961-964 (lire en ligne).
(en) David Albert Senechalle, « A characterization of inner product spaces », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 19, , p. 1306-1312 (lire en ligne).
