Le résultat de Tibor Šalát(en)(1966), plus précis, est énoncé p. 233 de Martine Queffélec, « Old and new results on normality », dans Dee Denteneer, Frank den Hollander et Evgeny Verbitskiy, Dynamics & Stochastics: Festschrift in Honour of M. S. Keane, IMS, (lire en ligne), p. 225-236.
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(en) Annie Broglio et Pierre Liardet, « Predictions with automata », Contemporary Mathematics, vol. 135, , p. 111-124 (MR1185084).
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J.-P. Marco et L. Lazzarini, Mathématiques L1, Pearson, (lire en ligne), p. 634 (présenté seulement pour la base dix).
C'est cette définition, désormais classique, qui est choisie par Niven 1956, p. 95 et reprise par Hervé Queffélec et Claude Zuily, Analyse pour l'agrégation, Dunod, , 4e éd. (lire en ligne), p. 550. Niven 1956, p. 104-110, démontre en effet qu'elle s'intercale dans l'implication démontrée par Pillai entre sa définition allégée et celle de Borel (cf. note précédente).
Le résultat de Tibor Šalát(en)(1966), plus précis, est énoncé p. 233 de Martine Queffélec, « Old and new results on normality », dans Dee Denteneer, Frank den Hollander et Evgeny Verbitskiy, Dynamics & Stochastics: Festschrift in Honour of M. S. Keane, IMS, (lire en ligne), p. 225-236.
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(en) Davar Khoshnevisan, « Normal Numbers are Normal », CMI Annual Report, , p. 15, 27-31 (lire en ligne).
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W. Sierpiński, « Démonstration élémentaire du théorème de M. Borel sur les nombres absolument normaux et détermination effective d'un tel nombre », Bull. Soc. Math. France, vol. 45, 1917, p. 125-132 [lire en ligne] ; H. Lebesgue, « Sur certaines démonstrations d'existence », même vol. (mais écrit en 1909), p. 132-144 [lire en ligne].
ias.ac.in
www-old.ias.ac.in
Borel 1909 (repris dans Hardy et Wright, § 9.12) exigeait de plus que bx, b2x, b3x, etc. soient simplement normaux en base bk (on peut évidemment arrêter le « etc. » à bk–1x), mais cette condition était redondante, comme l'a démontré (en) S. S. Pillai, « On normal numbers », Proc. Indian Acad. Sci. A, vol. 12, , p. 179-184 (lire en ligne), pour répondre à une objection d'un reviewer sur sa preuve simple du théorème de Champernowne. Cette preuve venait démentir le commentaire de Hardy et Wright sur ce théorème : « the proof […] is more troublesome than might be expected. » (dernière phrase du chap. 9).
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(de) Wolfgang M. Schmidt, « Über die Normalität von Zahlen zu verschiedenen Basen », Acta Arithmetica, vol. 7, no 3, , p. 299-309 (lire en ligne).
Kuipers et Niederreiter 2012, p. 8 et 75 ; Niven 1956, p. 112-115 ; plus généralement, si f est un polynôme qui envoie tout entier > 0 sur un entier > 0, alors le réel formé (en base dix par exemple) en concaténant les entiers f(1), f(2), … est normal dans cette base : (en) H. Davenport et P. Erdős, « Note on normal decimals », Canadian J. Math., vol. 4, , p. 58-63 (lire en ligne).
wikipedia.org
en.wikipedia.org
Le résultat de Tibor Šalát(en)(1966), plus précis, est énoncé p. 233 de Martine Queffélec, « Old and new results on normality », dans Dee Denteneer, Frank den Hollander et Evgeny Verbitskiy, Dynamics & Stochastics: Festschrift in Honour of M. S. Keane, IMS, (lire en ligne), p. 225-236.
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(en) V .N. Agafonov, « Normal sequences and finite automata », Soviet Mathematics Doklady, vol. 9, , p. 324-325 (zbMATH0242.94040) — (traduction de Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 179, p. 255-256) .
