Produit de Cauchy (French Wikipedia)

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Voir Hervé Queffélec et Claude Zuily, Analyse pour l'agrégation, Dunod, 2013, 4^e éd., p. 199 ou cet exercice corrigé du cours d'analyse fonctionnelle sur Wikiversité. comme application immédiate du théorème de Banach-Steinhaus, ou (en) Godfrey Harold Hardy, Divergent Series, Oxford University Press, 1973 (1^re éd. 1949) (lire en ligne), remarque p. 228 et Theorem I p. 43-46, pour une démonstration (plus longue mais plus élémentaire) d'une propriété générale des méthodes de sommations linéaires régulières (cf. Théorème de Silverman-Toeplitz).

(en) Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series : translated from the Second german Edition, 1951 (lire en ligne), p. 148 ; (en) Charles G. Denlinger, Elements of Real Analysis, Jones & Bartlett, 2011 (lire en ligne), p. 489.
Knopp 1951, p. 488, donne une preuve du cas où α et β sont de plus entiers. (en) E. W. Hobson, The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier's Series, vol. 2, CUP, 1926, 2^e éd. (lire en ligne), p. 76, démontre le cas général, en signalant que le cas particulier est dû à Cesàro et le cas général à Knopp, suivi d'une preuve plus simple par (en) S. Chapman, « On non-integral orders of summability of series and integrals », Proc. London Math. Soc. (2), vol. 9,‎ 1911, p. 369-409 (p. 378).

Aksel Frederik Andersen (en), Sur la multiplication de séries absolument convergentes par des séries sommables par la méthode de Cesàro, Copenhague, A.F. Høst & Søn, 1918, 39 p. (lire en ligne), p. 23.

Aksel Frederik Andersen (en), Sur la multiplication de séries absolument convergentes par des séries sommables par la méthode de Cesàro, Copenhague, A.F. Høst & Søn, 1918, 39 p. (lire en ligne), p. 23.

Pour une démonstration, voir par exemple le chapitre « Produit de Cauchy » sur Wikiversité.
Voir Hervé Queffélec et Claude Zuily, Analyse pour l'agrégation, Dunod, 2013, 4^e éd., p. 199 ou cet exercice corrigé du cours d'analyse fonctionnelle sur Wikiversité. comme application immédiate du théorème de Banach-Steinhaus, ou (en) Godfrey Harold Hardy, Divergent Series, Oxford University Press, 1973 (1^re éd. 1949) (lire en ligne), remarque p. 228 et Theorem I p. 43-46, pour une démonstration (plus longue mais plus élémentaire) d'une propriété générale des méthodes de sommations linéaires régulières (cf. Théorème de Silverman-Toeplitz).