Autrement dit, pour les caractères non principaux : la fonction L associée est une fonction entière. Voir aussi Pierre Colmez, Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres), Palaiseau, Éditions de l'École polytechnique, , 469 p. (ISBN978-2-7302-1563-3, lire en ligne), p. 291, théorème VII.4.4. On peut montrer de plus – mais ce n'est pas utile ici – que la série converge vers son prolongement holomorphe sur le demi-plan Re(s) > 0, comme toute série de Dirichlet ∑an/ns dont l'ensemble des sommes a1 + … + anest borné.
