(en) H. F. Bohnenblust et A. Sobczyk, « Extensions of functionals on complex linear spaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 44, , p. 91-93 (lire en ligne).
books.google.com
Toutes ces informations sont disponibles dans (en) Paul Howard et Jean Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, Providence (R.I.), AMS, coll. « Mathematical Surveys and Monographs » (no 59), , 432 p. (ISBN0-8218-0977-6, lire en ligne), qui renvoie notamment aux articles de D. Pincus, « Independence of the prime ideal theorem from the Hahn-Banach theorem », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 78, 1972, p. 203-248 et « The strength of the Hahn-Banach theorem », dans Proceedings of the Victoria Symposium on Nonstandard Analysis, coll. « Lecture Notes in Mathematics », vol. 369, Springer, Heidelberg, 1973. Pincus fournit deux modèles où Hahn-Banach est vrai alors que certaines formes de l'axiome du choix (lemme des ultrafiltres, axiome du choix dénombrable) ne le sont pas, l'un construit pour l'occasion, l'autre étant un modèle déjà connu construit par Azriel Lévy en 1962 à d'autres fins dans lequel il prouve que Hahn-Banach est vérifié. Il prouve par ailleurs qu'il existe des contre-exemples à Hahn-Banach dans le fameux modèle de Solovay de Zermelo-Fraenkel (celui où tout ensemble de réels est Lebesgue-mesurable).
Voir aussi (en) David Pincus et Robert M. Solovay, « Definability of measures and ultrafilters », The Journal of Symbolic Logic, Cambridge University Press, vol. 42, , p. 179-190 (DOI10.2307/2272118, JSTOR2272118)
où il est montré que — si ZF est consistante — alors « ZF + Choix dépendant + Hahn-Banach + tout ultrafiltre est principal » l'est aussi.
doi.org
dx.doi.org
Toutes ces informations sont disponibles dans (en) Paul Howard et Jean Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, Providence (R.I.), AMS, coll. « Mathematical Surveys and Monographs » (no 59), , 432 p. (ISBN0-8218-0977-6, lire en ligne), qui renvoie notamment aux articles de D. Pincus, « Independence of the prime ideal theorem from the Hahn-Banach theorem », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 78, 1972, p. 203-248 et « The strength of the Hahn-Banach theorem », dans Proceedings of the Victoria Symposium on Nonstandard Analysis, coll. « Lecture Notes in Mathematics », vol. 369, Springer, Heidelberg, 1973. Pincus fournit deux modèles où Hahn-Banach est vrai alors que certaines formes de l'axiome du choix (lemme des ultrafiltres, axiome du choix dénombrable) ne le sont pas, l'un construit pour l'occasion, l'autre étant un modèle déjà connu construit par Azriel Lévy en 1962 à d'autres fins dans lequel il prouve que Hahn-Banach est vérifié. Il prouve par ailleurs qu'il existe des contre-exemples à Hahn-Banach dans le fameux modèle de Solovay de Zermelo-Fraenkel (celui où tout ensemble de réels est Lebesgue-mesurable).
Voir aussi (en) David Pincus et Robert M. Solovay, « Definability of measures and ultrafilters », The Journal of Symbolic Logic, Cambridge University Press, vol. 42, , p. 179-190 (DOI10.2307/2272118, JSTOR2272118)
où il est montré que — si ZF est consistante — alors « ZF + Choix dépendant + Hahn-Banach + tout ultrafiltre est principal » l'est aussi.
(en) Matthew Foreman et Friedrich Wehrung, « The Hahn-Banach Theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set », Fundamenta Mathematicae, vol. 138, , p. 13–19 (DOI10.4064/fm-138-1-13-19, lire en ligne)
(en) Janusz Pawlikowski, « The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox », Fundamenta Mathematicae, vol. 138, , p. 21-22 (DOI10.4064/fm-138-1-21-22, lire en ligne)
impan.pl
(en) Janusz Pawlikowski, « The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox », Fundamenta Mathematicae, vol. 138, , p. 21-22 (DOI10.4064/fm-138-1-21-22, lire en ligne)
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Toutes ces informations sont disponibles dans (en) Paul Howard et Jean Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, Providence (R.I.), AMS, coll. « Mathematical Surveys and Monographs » (no 59), , 432 p. (ISBN0-8218-0977-6, lire en ligne), qui renvoie notamment aux articles de D. Pincus, « Independence of the prime ideal theorem from the Hahn-Banach theorem », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 78, 1972, p. 203-248 et « The strength of the Hahn-Banach theorem », dans Proceedings of the Victoria Symposium on Nonstandard Analysis, coll. « Lecture Notes in Mathematics », vol. 369, Springer, Heidelberg, 1973. Pincus fournit deux modèles où Hahn-Banach est vrai alors que certaines formes de l'axiome du choix (lemme des ultrafiltres, axiome du choix dénombrable) ne le sont pas, l'un construit pour l'occasion, l'autre étant un modèle déjà connu construit par Azriel Lévy en 1962 à d'autres fins dans lequel il prouve que Hahn-Banach est vérifié. Il prouve par ailleurs qu'il existe des contre-exemples à Hahn-Banach dans le fameux modèle de Solovay de Zermelo-Fraenkel (celui où tout ensemble de réels est Lebesgue-mesurable).
Voir aussi (en) David Pincus et Robert M. Solovay, « Definability of measures and ultrafilters », The Journal of Symbolic Logic, Cambridge University Press, vol. 42, , p. 179-190 (DOI10.2307/2272118, JSTOR2272118)
où il est montré que — si ZF est consistante — alors « ZF + Choix dépendant + Hahn-Banach + tout ultrafiltre est principal » l'est aussi.
(en) Matthew Foreman et Friedrich Wehrung, « The Hahn-Banach Theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set », Fundamenta Mathematicae, vol. 138, , p. 13–19 (DOI10.4064/fm-138-1-13-19, lire en ligne)