Théorème des deux carrés de Fermat (French Wikipedia)

Analysis of information sources in references of the Wikipedia article "Théorème des deux carrés de Fermat" in French language version.

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archive.org

P. 622.
Lettre CI, Fermat à Carcavi, août 1659 (« Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres »).

arxiv.org

Cette analyse est un résumé de : (en) Franz Lemmermeyer, The development of the principal genus theorem, arXiv:math/0207306.

bnf.fr

gallica.bnf.fr

(la) L. Euler, « Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos (E552) », Opuscula analytica, vol. 1,‎ 1783, p. 64-84 (lire en ligne).
En 1759, Euler utilise encore sa méthode des différences finies comme dans le cas p = 4n + 1, car une propriété fondamentale lui avait échappé : modulo un nombre premier, une congruence de degré n a au plus n solutions. Lagrange le démontra dans « Nouvelle méthode pour résoudre les problèmes indéterminés en nombres entiers », Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, vol. 24,‎ 1770, p. 655-726 (lire en ligne) (Weil, p. 198).

books.google.com

Weil, p. 65, présente comme celle d'Euler cette version, qui est plus exactement (Weil, p. 194-195) celle, simplifiée ultérieurement, de son Tractatus de numerorum doctrina posthume (chap. 8, § 257-260). Cette version simplifiée figure aussi dans Laplace, Théorie abrégée des nombres premiers, 1776, art. X, aperçu sur Google Livres. Lagrange s'en était déjà inspiré, en 1771, dans sa seconde preuve du théorème de Wilson.
(en) Barry Mazur, chap. IV.1, § 9 « Algebraic Numbers — Representations of Prime Numbers by Binary Quadratic Forms », dans Timothy Gowers, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2010 (lire en ligne), p. 325.
(en) John Stillwell, Elements of Number Theory, Springer, 2002 (lire en ligne), p. 160.

dartmouth.edu

math.dartmouth.edu

Correspondance entre Euler et Goldbach.
Euler démontre dès 1742 l'énoncé équivalent : une somme de deux carrés a² + b² ne peut être divisible par un nombre premier p de la forme 4n – 1 que si a et b sont divisibles par p (Lettre XXXIX, Euler à Goldbach, 6 mars 1742 et (la) « Theoremata circa divisores numerorum (E134) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 1,‎ 1750, p. 20-48 (lire en ligne), écrit et présenté en 1747, § 16, 17 et 20).
En 1743, Goldbach lui en communique une autre preuve (Lettre LXV, Goldbach à Euler, 28 septembre 1743). Euler, surpris par la simplicité de cette démonstration, se dit émerveillé et reconnaissant, car il prévoit que « la plupart des théorèmes de Fermat pourront être prouvés de la même manière » (Lettre LXVI, Euler à Goldbach, 15 octobre 1743). Weil, p. 211, explicite cette intuition : « […] it contains the first germ of the Lagrangian reduction for binary quadratic forms ».
« Lettre CXXV : Euler à Goldbach », 12 avril 1749 et (la) Euler, « Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum (E241) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 5,‎ 1760, p. 3-13 (lire en ligne) (écrit en 1750, présenté en 1754).
« Lettre CV : Euler à Goldbach », 6 mai 1747 et (la) Euler, « De numerus qui sunt aggregata quorum quadratorum (E228) », Novi Comment. Acad. Sci. Imp. Petrop., vol. 4,‎ 1758, p. 3-40 (lire en ligne) (écrit en 1749, présenté en 1752), traduction en anglais. Euler donnera une preuve plus élégante dans (la) « Novae demonstrationes circa resolutionem numerorum in quadrata (E445) », Nova Acta Eruditorum,‎ 1773, p. 48-69 (lire en ligne) (écrit en 1772).
(la) Euler, « Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resultantia (E449) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop, vol. 18,‎ 1774, p. 85-135 (lire en ligne) (écrit en 1772), n^o 85 (double) et suivants.
(la) Euler, « Supplementum quorundam theorematum arithmeticorum, quae in nonnullis demonstrationibus supponuntur (E272) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 8,‎ 1763, p. 105-128 (lire en ligne) (écrit en 1759 et présenté en 1760), complété par E449.

fuchs-braun.com

(en) Ivan Niven, Herbert Zuckerman et Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, Wiley, 1991, 5^e éd. (lire en ligne), p. 55, théorème 2.15.

google.fr

books.google.fr

(en) William J. LeVeque, Fundamentals of Number Theory, Dover, Theorem 7.3, p. 181-182.

maa.org

eulerarchive.maa.org

(la) L. Euler, « Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos (E552) », Opuscula analytica, vol. 1,‎ 1783, p. 64-84 (lire en ligne).
Euler démontre dès 1742 l'énoncé équivalent : une somme de deux carrés a² + b² ne peut être divisible par un nombre premier p de la forme 4n – 1 que si a et b sont divisibles par p (Lettre XXXIX, Euler à Goldbach, 6 mars 1742 et (la) « Theoremata circa divisores numerorum (E134) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 1,‎ 1750, p. 20-48 (lire en ligne), écrit et présenté en 1747, § 16, 17 et 20).
En 1743, Goldbach lui en communique une autre preuve (Lettre LXV, Goldbach à Euler, 28 septembre 1743). Euler, surpris par la simplicité de cette démonstration, se dit émerveillé et reconnaissant, car il prévoit que « la plupart des théorèmes de Fermat pourront être prouvés de la même manière » (Lettre LXVI, Euler à Goldbach, 15 octobre 1743). Weil, p. 211, explicite cette intuition : « […] it contains the first germ of the Lagrangian reduction for binary quadratic forms ».
Cette partie de la démonstration figure déjà dans la Lettre CV, où Euler affirme sans preuve qu'il existe des solutions (a, b), et dans E228, où il remarque de plus (§ 30) qu'on peut sans perte de généralité imposer b = 1 et (§ 31) qu'il existe 2n entiers a non carrés mod p, dont il conjecture qu'ils sont solutions : c'est le critère d'Euler, qu'il ne parviendra à démontrer qu'en 1755 (E262).
Weil, p. 65, présente comme celle d'Euler cette version, qui est plus exactement (Weil, p. 194-195) celle, simplifiée ultérieurement, de son Tractatus de numerorum doctrina posthume (chap. 8, § 257-260). Cette version simplifiée figure aussi dans Laplace, Théorie abrégée des nombres premiers, 1776, art. X, aperçu sur Google Livres. Lagrange s'en était déjà inspiré, en 1771, dans sa seconde preuve du théorème de Wilson.
« Lettre CV : Euler à Goldbach », 6 mai 1747 et (la) Euler, « De numerus qui sunt aggregata quorum quadratorum (E228) », Novi Comment. Acad. Sci. Imp. Petrop., vol. 4,‎ 1758, p. 3-40 (lire en ligne) (écrit en 1749, présenté en 1752), traduction en anglais. Euler donnera une preuve plus élégante dans (la) « Novae demonstrationes circa resolutionem numerorum in quadrata (E445) », Nova Acta Eruditorum,‎ 1773, p. 48-69 (lire en ligne) (écrit en 1772).
(la) Euler, « Specimen de usu observationum in mathesi pura (E256) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop, vol. 6,‎ 1761, p. 185-230 (écrit en 1751, présenté en 1754).
(la) Euler, « Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resultantia (E449) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop, vol. 18,‎ 1774, p. 85-135 (lire en ligne) (écrit en 1772), n^o 85 (double) et suivants.
(la) Euler, « Supplementum quorundam theorematum arithmeticorum, quae in nonnullis demonstrationibus supponuntur (E272) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 8,‎ 1763, p. 105-128 (lire en ligne) (écrit en 1759 et présenté en 1760), complété par E449.

numdam.org

archive.numdam.org

A. Weil, « Sur les origines de la géométrie algébrique », Compositio Mathematica, vol. 44, n^os 1-3,‎ 1981, p. 399 (lire en ligne).

oeis.org

Suite A002144 de l'OEIS.

ox.ac.uk

eprints.maths.ox.ac.uk

Plus précisément, cet ouvrage reprend la preuve de (en) D. R. Heath-Brown, « Fermat’s two squares theorem », Invariant, vol. 11,‎ 1984, p. 3-5 (lire en ligne), que celle de Zagier résumait.

ujf-grenoble.fr

math-doc.ujf-grenoble.fr

J.-L. Lagrange, « Recherches d'arithmétique », Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres de Berlin,‎ 1773, première partie, supplément 1775, rep. dans Œuvres de Lagrange, vol. III, p. 695-795. Le théorème est démontré sous le nom de Lemme VII, p. 782-783. Quelques années auparavant, en 1770, Lagrange a démontré un autre résultat connexe, le théorème des quatre carrés : le fait que tout nombre entier peut s'écrire comme une somme de 4 carrés, voir Weil, chap. IV, § II (D).

wikisource.org

fr.wikisource.org

Lettre CXXVI de Descartes à Mersenne, 29 juin 1636 : « j'ay négligé de poursuivre a l'expliquer touchant les fractions après l'avoir expliqué touchant les entiers, a cause qu'il m'a semblé trop facile pour prendre la peine de l'escrire […]. Mais pource qu'il [Fermat] dit que cela mesme que j'ay omis comme trop aysé, est très difficile, j'en ay voulu faire l'espreuve en la personne du jeune Gillot […] ce qu'il a fait fort aysement. »

wikiversity.org

fr.wikiversity.org

Voir par exemple Hardy et Wright 2007, chap. 16, § 9, théorème 278, ou ce devoir corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.
Plus généralement, un entier positif est de la forme x² + 2y² si et seulement si, dans sa décomposition en facteurs premiers, les exposants des nombres premiers congrus à $-1$ ou $-3{\bmod {8}}$ sont pairs : voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.

youtube.com

(en) [vidéo] Mathologer, Why was this visual proof missed for 400 years? (Fermat's two square theorem) sur YouTube.