(la) L. Euler, « Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos (E552) », Opuscula analytica, vol. 1, , p. 64-84 (lire en ligne).
En 1759, Euler utilise encore sa méthode des différences finies comme dans le cas p = 4n + 1, car une propriété fondamentale lui avait échappé : modulo un nombre premier, une congruence de degré n a au plus n solutions. Lagrange le démontra dans « Nouvelle méthode pour résoudre les problèmes indéterminés en nombres entiers », Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, vol. 24, , p. 655-726 (lire en ligne) (Weil, p. 198).
Euler démontre dès 1742 l'énoncé équivalent : une somme de deux carrés a2 + b2 ne peut être divisible par un nombre premier p de la forme 4n – 1 que si a et b sont divisibles par p (Lettre XXXIX, Euler à Goldbach, 6 mars 1742 et (la) « Theoremata circa divisores numerorum (E134) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 1, , p. 20-48 (lire en ligne), écrit et présenté en 1747, § 16, 17 et 20). En 1743, Goldbach lui en communique une autre preuve (Lettre LXV, Goldbach à Euler, 28 septembre 1743). Euler, surpris par la simplicité de cette démonstration, se dit émerveillé et reconnaissant, car il prévoit que « la plupart des théorèmes de Fermat pourront être prouvés de la même manière » (Lettre LXVI, Euler à Goldbach, 15 octobre 1743). Weil, p. 211, explicite cette intuition : « […] it contains the first germ of the Lagrangian reduction for binary quadratic forms ».
« Lettre CXXV : Euler à Goldbach », et (la) Euler, « Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum (E241) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 5, , p. 3-13 (lire en ligne) (écrit en 1750, présenté en 1754).
(la) Euler, « Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resultantia (E449) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop, vol. 18, , p. 85-135 (lire en ligne) (écrit en 1772), no 85 (double) et suivants.
(la) Euler, « Supplementum quorundam theorematum arithmeticorum, quae in nonnullis demonstrationibus supponuntur (E272) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 8, , p. 105-128 (lire en ligne) (écrit en 1759 et présenté en 1760), complété par E449.
(la) L. Euler, « Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos (E552) », Opuscula analytica, vol. 1, , p. 64-84 (lire en ligne).
Euler démontre dès 1742 l'énoncé équivalent : une somme de deux carrés a2 + b2 ne peut être divisible par un nombre premier p de la forme 4n – 1 que si a et b sont divisibles par p (Lettre XXXIX, Euler à Goldbach, 6 mars 1742 et (la) « Theoremata circa divisores numerorum (E134) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 1, , p. 20-48 (lire en ligne), écrit et présenté en 1747, § 16, 17 et 20). En 1743, Goldbach lui en communique une autre preuve (Lettre LXV, Goldbach à Euler, 28 septembre 1743). Euler, surpris par la simplicité de cette démonstration, se dit émerveillé et reconnaissant, car il prévoit que « la plupart des théorèmes de Fermat pourront être prouvés de la même manière » (Lettre LXVI, Euler à Goldbach, 15 octobre 1743). Weil, p. 211, explicite cette intuition : « […] it contains the first germ of the Lagrangian reduction for binary quadratic forms ».
Cette partie de la démonstration figure déjà dans la Lettre CV, où Euler affirme sans preuve qu'il existe des solutions (a, b), et dans E228, où il remarque de plus (§ 30) qu'on peut sans perte de généralité imposer b = 1 et (§ 31) qu'il existe 2n entiers a non carrés mod p, dont il conjecture qu'ils sont solutions : c'est le critère d'Euler, qu'il ne parviendra à démontrer qu'en 1755 (E262).
(la) Euler, « Specimen de usu observationum in mathesi pura (E256) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop, vol. 6, , p. 185-230 (écrit en 1751, présenté en 1754).
(la) Euler, « Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resultantia (E449) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop, vol. 18, , p. 85-135 (lire en ligne) (écrit en 1772), no 85 (double) et suivants.
(la) Euler, « Supplementum quorundam theorematum arithmeticorum, quae in nonnullis demonstrationibus supponuntur (E272) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 8, , p. 105-128 (lire en ligne) (écrit en 1759 et présenté en 1760), complété par E449.
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A. Weil, « Sur les origines de la géométrie algébrique », Compositio Mathematica, vol. 44, nos 1-3, , p. 399 (lire en ligne).
Plus précisément, cet ouvrage reprend la preuve de (en) D. R. Heath-Brown, « Fermat’s two squares theorem », Invariant, vol. 11, , p. 3-5 (lire en ligne), que celle de Zagier résumait.
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J.-L. Lagrange, « Recherches d'arithmétique », Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, , première partie, supplément 1775, rep. dans Œuvres de Lagrange, vol. III, p. 695-795. Le théorème est démontré sous le nom de Lemme VII, p. 782-783. Quelques années auparavant, en 1770, Lagrange a démontré un autre résultat connexe, le théorème des quatre carrés : le fait que tout nombre entier peut s'écrire comme une somme de 4 carrés, voir Weil, chap. IV, § II (D).
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Lettre CXXVI de Descartes à Mersenne, 29 juin 1636 : « j'ay négligé de poursuivre a l'expliquer touchant les fractions après l'avoir expliqué touchant les entiers, a cause qu'il m'a semblé trop facile pour prendre la peine de l'escrire […]. Mais pource qu'il [Fermat] dit que cela mesme que j'ay omis comme trop aysé, est très difficile, j'en ay voulu faire l'espreuve en la personne du jeune Gillot […] ce qu'il a fait fort aysement. »