Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie (French Wikipedia)

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La preuve directe de l'équivalence des normes sur Rⁿ existe dans de nombreux ouvrages, par exemple celui de Lang mentionné en référence (p. 35) et dans Espaces vectoriels normés de dimension finie et équivalence des normes, sur le site les-mathematiques.net.

Pour une démonstration dans le cas réel, voir par exemple le chapitre « Dimension finie » de la leçon « Espaces vectoriels normés » sur Wikiversité.

Ce résultat est démontré dans les quatorze premières pages de Bourbaki (ouvrage mentionné en référence). Une transcription libre en anglais, due à B. Rosenfield de l'université du Minnesota, figure dans (en) A note about finite dimensional topological vector spaces (2004), à ceci près que l'outil des filtres y est remplacé par celui des suites généralisées : voir à ce sujet l'avant-propos de l'article Filtre (mathématiques).