Para unha visión mas profunda destes desenvolvementos, A.G. Dragalin (originator) Intuitionism. En Encyclopedia of Mathematics.
etymonline.com
Natura é a tradución latina da palabra grega physis (φύσις), que no seu significado orixinal gacía referencia á forma innata en que medran espontaneamente plantas e animais. Véxase: Physical. En lingua alemá o vocábulo "natureza" provén de naturist, que significa "o curso dos animais, carácter natural". Véxase: Nature
Ferran Mir Sabaté (2006): As discusións posteriores sobre a filosofía matemática (a metamatemática) ilustrarán as distintas concepcións da disciplina. Durante os anos vinte desenvolverase un fonfo debate sobre as bases das matemáticas que, a pesar do seu pechamento aparente, continúa vixente nos nosos días. En La polémica intuicionismo formalismo en los años 20. Cuaderno de Materiales. Num. 23 (2011). ISSN 1139-4382. Páxinas 557-574.
"El problema dos universais". www.filosofia.net. Seminario de Filosofía INBAD, Servicio de Publicacións do MEC, Madrid, 1985. Consultado o 17 de outubro de 2019.
Michel Bordeau: El Error de Cantor en Jorge Martínez Contreras, Aura Ponce de León, Luis Villoro: El saber filosófico esp pp 396- 405
Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy (1973): Foundations of set theory pp 252-264: "The Primordial intution of integer: Choice sequences and Brouwer's concept of set
Para unha visión xeral do empirismo matemático, David Bostock (2009): "Empiricism in the Philosophy of Mathematics" en D. M. Gabbay; P. Thagard; J. Woods (edtrs): Philosophy of Mathematics p 157- 230
Diego Pareja H (2008): "o concepto moderno de formalismo que inclúe as técnicas do razoamento finitista debemos atribuírllo a Hilbert e aos seus discípulos". En 5. 8 – David Hilbert y el formalismo. Razoamentos finistas son aqueles "razoamentos absolutamente seguros e libres de calquera clase de sospeita".
DIEGO PAREJA HEREDIA: "Para os intuicionistas as bases das matemáticas estaban na explicación da orixe, ou a esencia dos números naturais 1, 2, 3,... Para a filosofía intuicionista, todo ser humano ten unha intuición conxénita en relación cos números naturais. Isto significa en primeiro lugar que temos unha certeza inmediata do que significamos co número “1”, e en segundo lugar, que o proceso mental que orixinou o número 1 pode repetirse. A repetición deste proceso, induce a creación do número 2, unha nova repetición e aparece o número 3. Nesta forma, o ser humano pode construír calquera segmento inicial 1, 2, 3,..., n, onde n é un natural arbitrario. Esta construción mental dun número natural tras outro, nunca podería darse, de non termos dentro de nós, unha preconcepción do tempo. Cando afirmamos “2 vai despois de 1”, o vocábulo “despois” ten unha connotación de tempo, e nese aspecto Brouwer adhírese ao filósofo Immanuel Kant, para quen a mente humana ten unha apreciación inmediata da noción de tempo. Kant empregou a palabra “intuición” para “apreciación inmediata”, e é de alí de onde provén a expresión “intuicionismo”". En 5.7 – Brouwer, Heyting y el Intuicionismo.
J. BARRIO GUTIÉRREZ: "Intuicionismo matemático. Unha das corrientes matemáticas de máis fecundidade no momento actual é o chamado Intuicionismo matemático. En oposición ao formalismo de Hilbert (v.), foi creado por L. Brouwer (v.) sobre a base de anteriores ideas defendidas por L. Kronecker. A tese fundamental deste (intuicionismo) é a afirmación de que a Matemática (v.) está constituída exclusivamente por un conxunto de entes construídos intuitivamente polo matemático, sobre os que se continuarán a construír outros mediante un sistema operacional claro, preciso e fecundo". en INTUICIONISMO
From an 1886 lecture at the 'Berliner Naturforscher-Versammlung', according to H. M. Weber's memorial article, as quoted and translated in Gonzalez Cabillon, Julio (3 de febreiro de 2000). "FOM: What were Kronecker's f.o.m.?". Consultado o 19 de xullo de 2008. Gonzalez gives as the sources for the memorial article, the following: Weber, H: "Leopold Kronecker", Jahresberichte der Deutschen Mathematiker Vereinigung, vol ii (1893), pp. 5-31. Cf. page 19. See also Mathematische Annalen vol. xliii (1893), pp. 1-25.
Horsten, Leon, Philosophy of Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
Heinzmann, Gerhard; Stump, David (2017). Zalta, Edward N., ed. Henri Poincaré (Winter 2017 ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado o 26 de agosto de 2020.
van Atten, Mark: "Sobre a base da súa filosofía da mente, en que Kant e Schopenhauer foron as principais influencias, Brouwer caracteriza principalmente as matemáticas como a libre actividade do pensamento exacto, unha actividade que se basea na intuición pura do tempo (interior). Ningún reino independente dos obxectos e a linguaxa teñen algún papel fundamental. Deste xeito esforzouse por evitar a Escila do platonismo (cos seus problemas epistemolóxico) e o Caribdis do formalismo (coa súa pobreza de contido). Dado que, en vista de Brouwer, non hai factor determinante da verdade matemática fóra da actividade de pensar, unha proposición só se fai realidade cando o suxeito experimentou a súa verdade (porque levou a cabo unha construción mental axeitada), de maneira similar, unha proposición só é falsa cando o suxeito experimentou a súa falsidade (por darse de conta de que unha construción mental axeitada non é posible). Polo tanto Brouwer pode afirmar que "non hai verdades sen experiencia" (Brouwer, 1975, páx. 488). En "3. Brief Characterization of Brouwer's Intuitionism" en Luitzen Egbertus Jan Brouwer
van Atten, Mark: "Os teoremas fundamentais da análise intuicionista (o teorema da barra, o teorema do abano e o teorema da continuidade) atópanse en "Sobre os dominios de definición das funcións" (Brouwer, 1927). Os dous primeiros son teoremas estructurais sobre os diferenciais, e o terceiro (que non debe confundirse co principio de continuidade para as secuencias de escolla) establece que cada función total [0,1] → ℝ é continua e mesmo uniformemente continua. O teorema do abano é, de feito, un corolario do teorema da barra; combinado co principio de continuidade, que non é válido clasicamente, produce o teorema da continuidade, que tampouco é clasicamente válido. Os teoremas das barras e o abano son, por outra banda, clasicamente válido, aínda que as probas clásicas e intuicionista para eles non son intercambiables. As probas clásicas non son “intuicionisticamente” aceptables debido á manera en que depender de PEM, as probas intuicionistas non son clasicamente aceptables porque dependen da reflexión sobre a estrutura das probas mentais. Nesta reflexión, Brouwer introduciu a noción da forma dunha proba con "análise completa" ou "canónica", que sería adoptada máis tarde por Martin-Löf e por Dummett. Nunha nota ao pé, Brouwer menciona que tales probas, que el identifica cos obxectos mentais na mente do suxeito, adoitan ser infinitas". En 4. Brouwer's Development of Intuitionism en Luitzen Egbertus Jan Brouwer
Balaguer, Mark (outono de 2018). Zalta, Edward N., ed. The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Consultado o 9 de xullo de 2019.
Kusch, Martin (2020). Zalta, Edward N., ed. Psychologism (primavera de 2020 ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado o 26 de agosto de 2020.
Esta concepción baséase, de acordo a Angela Patricia Valencia Salas; Angela Patricia Franco Urián en "o uso da noción do tempo como base primordial da súa elaboración do continuo. O tempo é o único elemento “a priori” do continuo. Este baséase no que Brouwer denomina “intuición primordial ou primixenia”, que consiste na capacidade de conciencia da relación entre antes-despois, pasado-presente, como unidade do continuo e o discreto, a posibilidade de pensar á vez en singularidades unidas por un "entre" que nunca se esgota por inserción de novas singularidades, polo tanto é imposible tomar algún deles como autosuficiente construír o outro a partir de aí. Zalamea (2001) menciona que un dos trazos que caracteriza a idea dun continuo sintético é a xenericidade, que refire ao non particularizante, á iniciación dun grande espazo de posibilidades non actualizadas nin determinadas e isto obsérvase en Brouwer tomando como base a súa Intuición Primixenia". En Sobre una construcción alternativa al continuo de Cantor: el continuo intuicionistaArquivado 05 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
Carlos Torres A: "O intuicionismo foi a resposta de Brouwer ao loxicismo de Russell, á matemática non construtiva e aos paradoxos, e apóiase en tres teses radicais: i) os obxectos matemáticos constrúense directamente na intuición pura, sendo por iso previos á linguaxe e á lóxica; ii) as leis que rexen o comportamento de ditos obxectos derivan da súa construción, non da lóxica, como pretenden Frege, Russell e os loxicistas e iii) na matemática non é admisible ningunha teoría que rebase o marco do dable na intuición, como sosteñen Hilbert e os cantorianos". En KANT VISTO dende as MATEMÁTICAS revista unam vol.6/num 1 (2005) sección “El intuicionismo de Brouwer”, pp 15-19
A "intuición" á que se fai referencia ten un sentido máis ben especializado: Miguel Espinoza: "Suponse que un coñecemento intuitivo non ocorre en etapas, non é gradual como unha inferencia, como o coñecemento que presupón a linguaxe, como a aplicación dun algoritmo. Digo "suponse" porque a inmidiatez podería ser unha ilusión. Que a conciencia sexa incapaz de seguir os diferentes pasos do cerebro non significa que bioloxicamente haxa tamén inmediatez. A rapidez dun computador non implica intuición. Ás veces nas matemáticas enténdese tamén por intuición as operacións de cálculo ou o que chega a entenderse facilmente. Na intuición, o aprehendido e a operación da mente forman un só proceso, teñen unha soa forma, por iso non se formula o problema da verdade-adecuacion. Para preguntarnos se o que pensamos corresponde ou non a algo externo ao pensamento, é necesario que o intelecto e a cousa estean separados. Isto non ocorre na intuición. É etnón a falta de distinción suxeito-obxecto, a inmediatez atribuida á intuición que deu aos intuicionistas a confianza neste modo de coñecemento. Toda inferencia debe estar baseada finalmente en verdades intuitivas", en Intuicionismo e obxectividad p 101-102
De acordo a Brouwer "un ente só existe se pode ser construído a partir da intuición primordial". Brouwer, citado por Espinoza en Intuicionismo y objetividad p 110.
Internet Enciclopedia of Philosophy: Mathematical Platonism «Calquera explicación metafísica das matemáticas que implica que as entidades matemáticas existen, que son abstractos, e que son independentes de todas as nosas actividades racionais.»
P Maddy, citada por Luis Miguel Ángel Cano P (2003) en Frege y la nueva lógica. «O realismo, polo tanto, é o punto de vista que sostén que a matemática é a ciencia dos números, conxuntos, funcións etc., tal e como a física é o estudo dos obxectos físicos ordinarios, corpos astronómicos e partículas subatómicas entre outros. Isto é, a matemática trata sobre eses obxectos, e é o modo en que tales obxectos son o que fai os enunciados da matemática verdadeiros ou falsos.»
García Buitrago, Néstor. "SI YO FUERA MAESTRO"(PDF): 401. Archived from the original on 09 de marzo de 2012. Consultado o 19 de decembro de 2020.
Ferran Mir S (2006): "A coñecida intervención de David Hilbert (1862-1943) no Congreso Internacional de París de 1900, en que formulou os 23 problemas matemáticos para resolver durante o século XX, ía moito máis aló da simple relación de devanditos problemas. A convición claramente expresada por Hilbert de que todo problema ten que tener a súa solución baseada na pura razón [6, Pags. 125 e ss.]: "Nas matemáticas non existe o ignorabimus". Un ano antes, Hilbert publicara o seu Grundlagen der Geometrie, en que establecía os axiomas a partir dos cales podía desenvolverse, mediante pura dedución, toda a disciplina en todas as súas variantes, tanto euclidianas como non euclidianas. Mediante este ideal axiomático podía construír un raciocinio sobre obxectos que non precisaba definir; ao contrario de Euclides que precisara dunha definición (intuitiva) dos obxectos básicos (punto, liña, plano…). O feito de prescindir das definicións dos obxectos básicos, fai que se lle reprochase a redución das matemáticas ao estudo das simples relacións entre obxectos abstractos: un puro xogo con símbolos. A combinación do ideal axiomático coa convición de que todo problema debe ter solución, conducirá nos anos sucesivos á idea de completude do sistema axiomático. Nos primeiros anos do século XX, esta idea é aínda vaga [13, páxina 151], mais está claro que Hilbert considera que dende un reducido grupo de axiomas poden derivarse a totalidade dos teoremas aceptados nas matemáticas ordinarias. Tamén está presente a idea de simplicidade: o conxunto de axiomas ten que ser o máis reducido posible e deben ser independentes uns doutros". En La polémica intuicionismo formalismo en los años 20.
Esta concepción baséase, de acordo a Angela Patricia Valencia Salas; Angela Patricia Franco Urián en "o uso da noción do tempo como base primordial da súa elaboración do continuo. O tempo é o único elemento “a priori” do continuo. Este baséase no que Brouwer denomina “intuición primordial ou primixenia”, que consiste na capacidade de conciencia da relación entre antes-despois, pasado-presente, como unidade do continuo e o discreto, a posibilidade de pensar á vez en singularidades unidas por un "entre" que nunca se esgota por inserción de novas singularidades, polo tanto é imposible tomar algún deles como autosuficiente construír o outro a partir de aí. Zalamea (2001) menciona que un dos trazos que caracteriza a idea dun continuo sintético é a xenericidade, que refire ao non particularizante, á iniciación dun grande espazo de posibilidades non actualizadas nin determinadas e isto obsérvase en Brouwer tomando como base a súa Intuición Primixenia". En Sobre una construcción alternativa al continuo de Cantor: el continuo intuicionistaArquivado 05 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
