証明。任意の素イデアルは根基なので、この共通部分は Rad(I) を含む。逆に、r を R の元であって Rad(I) の元でないとし、S を集合 {rn|n は非負整数} とする。Rad(I) の定義によって、S は I と交わらない。S はまた積閉集合である。したがって、クルルの定理の変形によって、I を含み S と交わらない素イデアル P が存在する。（prime ideal を見よ。）P は I を含むが r を含まないので、このことは r が I を含む素イデアルの共通部分に入っていないことを示している。
