ケルビン・ストークスの定理 (Japanese Wikipedia)

Analysis of information sources in references of the Wikipedia article "ケルビン・ストークスの定理" in Japanese language version.

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3google.co.jp

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ams.org

L. S. Pontryagin, Smooth manifolds and their applications in homotopy theory, American Mathematical Society Translations, Ser. 2, Vol. 11, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1959, pp. 1–114. MR 0115178 (22 #5980 [10])[11]

bath.ac.uk

maths.bath.ac.uk

本記事におけるこの定理の証明は、 Prof. Robert Scheichl (University of Bath, U.K)の講義ノートによる証明に準拠している。 [4], 特に、[5]を参照のこと。

google.co.jp

books.google.co.jp

James Stewart;"Essential Calculus: Early Transcendentals" Cole Pub Co (2010)[3]
John M. Lee;"Introduction to Smooth Manifolds (Graduate Texts in Mathematics, 218) " Springer (2002/9/23) [7] [8]
Lawrence Conlon;"Differentiable Manifolds (Modern Birkhauser Classics) " Birkhaeuser Boston (2008/1/11) [9]

hatenadiary.org

ishikawash.hatenadiary.org

等式
$({(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}-{}^{t}{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)})\mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x} ,\quad {\text{for all}}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$ 　(★0)
の証明は、「ベクトル積」の線形性から示される。まず、ベクトル積の表現行列（正確には作用素"a×"の表現行列）を求める (例えば[1]あるいは、「Eric Lengyel(著)　"Mathematics for 3d Game Programming and Computer Graphics (Game Development Series)" Charles River Media (2003/11)」を参照)。 3次元実数ベクトルa,xが以下のように表されるとすると、
$\mathbf {a} =\left({\begin{array}{l}{a}_{1}\\{a}_{2}\\{a}_{3}\end{array}}\right)\ \ \mathbf {x} =\left({\begin{array}{l}{x}_{1}\\{x}_{2}\\{x}_{3}\end{array}}\right)$
とすると、a×xは、
$\mathbf {a} \times \mathbf {x} =\left({\begin{array}{l}{a}_{2}{x}_{3}-{a}_{3}{x}_{2}\\{a}_{3}{x}_{1}-{a}_{1}{x}_{3}\\{a}_{1}{x}_{2}-{a}_{2}{x}_{1}\end{array}}\right)$
なので、
$\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{1}=\left({\begin{array}{c}0\\{a}_{3}\\-{a}_{2}\end{array}}\right)\ \ \mathbf {a} \times \mathbf {e} _{2}=\left({\begin{array}{c}-{a}_{3}\\0\\{a}_{1}\end{array}}\right)\ \ \mathbf {a} \times \mathbf {e} _{3}=\left({\begin{array}{c}{a}_{2}\\-{a}_{1}\\0\end{array}}\right)$ 　
なので、
$\mathbf {a} \times \mathbf {x} =\left({\begin{array}{ccc}0&-{a}_{3}&{a}_{2}\\{a}_{3}&0&-{a}_{1}\\-{a}_{2}&{a}_{1}&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{x}_{1}\\{x}_{2}\\{x}_{3}\end{array}}\right)$ 　(★1)
さて、3×3行列 $A=({a}_{ij})$ を考える。上記のaに以下の代入操作をすると、
${a}_{1}={a}_{32}-{a}_{23}$

${a}_{2}={a}_{13}-{a}_{31}$

${a}_{3}={a}_{21}-{a}_{12}$
上記の(★1)より、以下の等式が導かれる。
$(A-{}^{t}A)\mathbf {x} =\mathbf {a} \times \mathbf {x}$ 　(★2)
である。さらに(★1),(★2)より上記のAに、 $J\mathbf {F}$ を代入すると、
$\mathbf {a} =(\nabla \times \mathbf {F} )$ 　(★3)
が判る。以上から(★0)が示された。

proofwiki.org

本証明は、以下の記事の証明と同等である。[6]

rac.es

http://www.rac.es/ficheros/doc/00128.pdf

rochester.edu

math.rochester.edu

L. S. Pontryagin, Smooth manifolds and their applications in homotopy theory, American Mathematical Society Translations, Ser. 2, Vol. 11, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1959, pp. 1–114. MR 0115178 (22 #5980 [10])[11]

wolfram.com

mathworld.wolfram.com

http://mathworld.wolfram.com/CurlTheorem.html