0,999... (Portuguese Wikipedia)

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O limite decorre, por exemplo, de Rudin (1976), p. 57, Teorema 3.20e. Para uma abordagem mais direta, veja também Finney, Weir & Giordano (2001), seção 8.1, exemplo 2(a), exemplo 6(b). Rudin, Walter (1976) [1953]. Principles of Mathematical Analysis 3e ed. [S.l.]: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8
Um livro-texto para um curso avançado de graduação. "A experiência me convenceu de que não é pedagogicamente correto (embora seja logicamente correto) começar com a construção dos números reais a partir dos racionais. No início, a maioria dos alunos simplesmente não percebe a necessidade de fazer isso. Dessa forma, o sistema de números reais é apresentado como um campo ordenado com a propriedade do limite inferior superior, e algumas aplicações interessantes dessa propriedade são feitas rapidamente. Entretanto, a construção de Dedekind não é omitida. Ela está agora em um apêndice do Capítulo 1, onde pode ser estudada e apreciada sempre que for oportuno" (p. ix).
Euler (1822), p. 170. Euler, Leonhard (1822) [1770]. Elements of Algebra. Traduzido por Hewlett, Jonh; Horner, Francis 3.ª ed. [S.l.]: Orme Longman. p. 170. ISBN 978-0-387-96014-2. Consultado em 4 de julho de 2011
Petkovšek (1990), p. 408. Petkovšek, Marko (maio de 1990). «Ambiguous Numbers are Dense». American Mathematical Monthly. 97 (5): 408–411. JSTOR 2324393. doi:10.2307/2324393
Stewart (2009), p. 175. Stewart, Ian (2009). Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures. [S.l.]: Profile Books. ISBN 978-1-84668-292-6
Rosenlicht (1985), p. 27. Rosenlicht, Maxwell (1985). Introduction to Analysis. [S.l.]: Dover. ISBN 978-0-486-65038-8
Este livro oferece uma introdução "rigorosa e cuidadosa" à análise real. Ele apresenta os axiomas dos números reais e, em seguida, constrói-os (pp. 27–31) como decimais infinitos com 0,999... = 1 como parte da definição.
Byers (2007), p. 39. Byers, William (2007). How Mathematicians Think: Using Ambiguity, Contradiction, and Paradox to Create Mathematics. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12738-5
Richman (1999). Richman, Fred (dezembro de 1999). «Is 0.999... = 1?». Mathematics Magazine. 72 (5): 396–400. JSTOR 2690798. doi:10.2307/2690798 . Pré-impressão gratuita em HTML: Richman, Fred (junho de 1999). «Is 0.999... = 1?». Consultado em 23 de agosto de 2006. Arquivado do original em 2 de setembro de 2006
Observação: o artigo do periódico contém material e redação não encontrados na pré-impressão.
Byers (2007), p. 41. Byers, William (2007). How Mathematicians Think: Using Ambiguity, Contradiction, and Paradox to Create Mathematics. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12738-5
Peressini & Peressini (2007), p. 186. Peressini, Anthony; Peressini, Dominic (2007). «Philosophy of Mathematics and Mathematics Education». In: van Kerkhove, Bart; van Bendegem, Jean Paul. Perspectives on Mathematical Practices. Col: Logic, Epistemology, and the Unity of Science. 5. [S.l.]: Springer. ISBN 978-1-4020-5033-6
Rudin (1976), p. 61, Teorema 3.26. Rudin, Walter (1976) [1953]. Principles of Mathematical Analysis 3e ed. [S.l.]: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8
Um livro-texto para um curso avançado de graduação. "A experiência me convenceu de que não é pedagogicamente correto (embora seja logicamente correto) começar com a construção dos números reais a partir dos racionais. No início, a maioria dos alunos simplesmente não percebe a necessidade de fazer isso. Dessa forma, o sistema de números reais é apresentado como um campo ordenado com a propriedade do limite inferior superior, e algumas aplicações interessantes dessa propriedade são feitas rapidamente. Entretanto, a construção de Dedekind não é omitida. Ela está agora em um apêndice do Capítulo 1, onde pode ser estudada e apreciada sempre que for oportuno" (p. ix).
Stewart (1999), p. 706. Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals 4e ed. [S.l.]: Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-36298-0
Este livro tem como objetivo "ajudar os alunos a descobrir o cálculo" e "promover a compreensão conceitual" (p. v). Ele omite as provas dos fundamentos do cálculo. Múltiplas edições do livro estão disponíveis em português.
Grattan-Guinness (1970), p. 69. Grattan-Guinness, Ivor (1970). The Development of the Foundations of Mathematical Analysis from Euler to Riemann. [S.l.]: MIT Press. ISBN 978-0-262-07034-8
Davies (1846), p. 175. Davies, Charles (1846). The University Arithmetic: Embracing the Science of Numbers, and Their Numerous Applications. [S.l.]: A.S. Barnes. p. 175. Consultado em 4 de julho de 2011
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Stewart (2009), p. 34. Stewart, Ian (2009). Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures. [S.l.]: Profile Books. ISBN 978-1-84668-292-6
Bartle & Sherbert (1982), pp. 60–62. Bartle, R. G.; Sherbert, D. R. (1982). Introduction to Real Analysis. [S.l.]: Wiley. ISBN 978-0-471-05944-8
Este texto tem como objetivo ser "um livro didático acessível e de ritmo razoável que trata dos conceitos e técnicas fundamentais da análise real". Seu desenvolvimento dos números reais se baseia no axioma do supremo (pp. vii–viii).
Pedrick (1994), p. 29. Pedrick, George (1994). A First Course in Analysis. [S.l.]: Springer. ISBN 978-0-387-94108-0
Apostol (1974), pp. 9, 11–12. Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis 2e ed. [S.l.]: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1
Uma transição do cálculo para a análise avançada, Mathematical analysis tem a intenção de ser "honesto, rigoroso, atualizado e, ao mesmo tempo, não muito pedante" (pref.). O desenvolvimento dos números reais por Apostol usa o axioma da menor cota superior e introduz decimais infinitos duas páginas depois (pp. 9-11).
Apostol (1974), p. 12. Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis 2e ed. [S.l.]: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1
Uma transição do cálculo para a análise avançada, Mathematical analysis tem a intenção de ser "honesto, rigoroso, atualizado e, ao mesmo tempo, não muito pedante" (pref.). O desenvolvimento dos números reais por Apostol usa o axioma da menor cota superior e introduz decimais infinitos duas páginas depois (pp. 9-11).
Protter & Morrey (1991), p. 503. Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1991). A First Course in Real Analysis 2e ed. [S.l.]: Springer. ISBN 978-0-387-97437-8
Este livro tem como objetivo "apresentar uma base teórica de análise que seja adequada para alunos que tenham concluído um curso padrão de cálculo". (p. vii) No final do Capítulo 2, os autores assumem como axioma para os números reais que as sequências limitadas e não decrescentes convergem, provando posteriormente o teorema dos intervalos aninhados e a propriedade do limite superior mínimo (pp. 56–64). As expansões decimais aparecem no Apêndice 3, "Expansions of real numbers in any base" (pp. 503–507).
Bartle & Sherbert (1982), p. 61. Bartle, R. G.; Sherbert, D. R. (1982). Introduction to Real Analysis. [S.l.]: Wiley. ISBN 978-0-471-05944-8
Este texto tem como objetivo ser "um livro didático acessível e de ritmo razoável que trata dos conceitos e técnicas fundamentais da análise real". Seu desenvolvimento dos números reais se baseia no axioma do supremo (pp. vii–viii).
Petkovšek (1990), p. 409. Petkovšek, Marko (maio de 1990). «Ambiguous Numbers are Dense». American Mathematical Monthly. 97 (5): 408–411. JSTOR 2324393. doi:10.2307/2324393
Petkovšek (1990), pp. 410–411. Petkovšek, Marko (maio de 1990). «Ambiguous Numbers are Dense». American Mathematical Monthly. 97 (5): 408–411. JSTOR 2324393. doi:10.2307/2324393
Bunch (1982), p. 119. Bunch, Bryan H. (1982). Mathematical Fallacies and Paradoxes. [S.l.]: Van Nostrand Reinhold. ISBN 978-0-442-24905-2
Este livro apresenta uma análise de paradoxos e falácias como uma ferramenta para explorar seu tópico central, "a relação bastante tênue entre a realidade matemática e a realidade física". Ele pressupõe o primeiro ano de álgebra do ensino médio; outras matemáticas são desenvolvidas no livro, incluindo séries geométricas no Capítulo 2. Embora 0,999... não seja um dos paradoxos a serem tratados em sua totalidade, ele é brevemente mencionado durante o desenvolvimento do método diagonal de Cantor (pp. ix–xi, 119).
Burrell (1998), p. 28: "Talvez o mais tranquilizador de todos os números seja o 1 [...] Portanto, é particularmente inquietante quando alguém tenta fazer o 0,9~ passar por 1." Burrell, Brian (1998). Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference. [S.l.]: Merriam-Webster. ISBN 978-0-87779-621-3
Dubinsky et al. (2005), pp. 261–262. Dubinsky, Ed; Weller, Kirk; McDonald, Michael; Brown, Anne (2005). «Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: an APOS analysis: part 2». Educational Studies in Mathematics. 60 (2): 253–266. doi:10.1007/s10649-005-0473-0
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Este livro tem a intenção ser uma introdução à análise real destinada a estudantes de nível superior e de pós-graduação (pp. xi–xii).
Beals (2004), p. 22. Beals, Richard (2004). Analysis: An Introduction. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-60047-7
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