(en) Lowell Schoenfeld, « Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II », Math. Comp., vol. 30, , p. 337-360 (lire en ligne).
(en) Pierre Dusart, « The kth prime is greater than k(ln k + ln ln k – 1) for k ≥ 2 », Math. Comp., vol. 68, , p. 411-415 (lire en ligne).
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(de) E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteiligung der Primzahlen, (lire en ligne), p. 226.
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La démonstration d'Ernesto Cesàro, « Sur une formule empirique de M. Pervouchine », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 119, , p. 848-849 (lire en ligne), repose sur un développement qu'il énonce comme démontré en 1893 mais qui ne le sera que par les travaux ultérieurs de La Vallée Poussin. Cf. (en) Juan Arias de Reyna et Jérémy Toulisse, « The n-th prime asymptotically », J. Théor. Nombres Bordeaux 25 (2013), no. 3, 521-555, arXiv:1203.5413.
bnf.fr
gallica.bnf.fr
La démonstration d'Ernesto Cesàro, « Sur une formule empirique de M. Pervouchine », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 119, , p. 848-849 (lire en ligne), repose sur un développement qu'il énonce comme démontré en 1893 mais qui ne le sera que par les travaux ultérieurs de La Vallée Poussin. Cf. (en) Juan Arias de Reyna et Jérémy Toulisse, « The n-th prime asymptotically », J. Théor. Nombres Bordeaux 25 (2013), no. 3, 521-555, arXiv:1203.5413.
(en) Paul Pollack, Not Always Buried Deep: A Second Course in Elementary Number Theory, AMS, (lire en ligne), chap. 7 (« An Elementary Proof of the Prime Number Theorem »), p. 213-246.
Les valeurs approchées de « li(x)/π(x) » sont arrondies (et non tronquées) à la 12e décimale ; mais le calcul est fait avec la valeur de « li(x) » arrondie à sa partie entière, car issu de la colonne précédente. Pour un calcul plus précis, il faut utiliser des tables de « li(x) », sous forme imprimée telle que celle-ci, ou bien calculée en ligne telle que celle-là.
jstor.org
(en) A. Selberg, « An elementary proof of the prime-number theorem », Ann. Math., vol. 50, no 2, , p. 305-313 (JSTOR1969455).
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(en) Don Zagier, « Newman's short proof of the prime number theorem », Amer. Math. Month., vol. 104, no 8, , p. 705-708 (lire en ligne).
(en) P. Erdős, « On a new method in elementary number theory which leads to an elementary
proof of the prime number theorem », PNAS, vol. 35, , p. 374-384 (lire en ligne).
(de) Lettre de Gauss de 1849 à Encke : « Die gütige Mittheilung Ihrer Bemerkungen über die Frequenz der Primzahlen ist mir in mehr als einer Beziehung interessant gewesen. Sie haben mir meine eigenen Beschäftigungen mit demselben Gegenstande in Erinnerung gebracht, deren erste Anfänge in eine sehr entfernte Zeit fallen, ins Jahr 1792 oder 1793, wo ich mir die Lambertschen Supplemente zu den Logarithmentafeln angeschafft hatte. »
Les valeurs approchées de « li(x)/π(x) » sont arrondies (et non tronquées) à la 12e décimale ; mais le calcul est fait avec la valeur de « li(x) » arrondie à sa partie entière, car issu de la colonne précédente. Pour un calcul plus précis, il faut utiliser des tables de « li(x) », sous forme imprimée telle que celle-ci, ou bien calculée en ligne telle que celle-là.
