平坦射 (Japanese Wikipedia)
Analysis of information sources in references of the Wikipedia article "平坦射" in Japanese language version.
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archive.org
- Sernesi, E. (2010). Deformations of Algebraic Schemes. Springer. pp. 269–279
ayoucis.wordpress.com
- “Flat Morphisms and Flatness”. 2021年11月25日閲覧。
columbia.edu
stacks.math.columbia.edu
- 可換環 R 上の加群 M が平坦であることと任意のイデアル I について Tor1(R/I, M) = 0 であることは同値である（Stacks Project, Tag 00M5）。このことと、ℂ[t] は単項イデアル整域なのでイデアルが簡単に分類できることを使ってもわかる。
mathoverflow.net
- EGA IV2, Proposition 6.1.5. Y が正則という仮定は必要である。例えば、 は、X が正則、Y が正規、f が全射な有限射だが平坦ではない。参考：Generalizing miracle flatness (Matsumura 23.1) via finite Tor-dimension
![{\displaystyle \mathbb {C} [x^{2},y^{2},xy]\subset \mathbb {C} [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02941731283d256bd777383eccb6f8639fcf593b)
